初等数学专题研究答案(3)

2,?1,3 所以设通项公式为：利用递推公式可得前三项为：an?c1n?c2?c3(?1)n?1，

?c1?c2?c3?2117?于是：?2c1?c2?c3??1，解这个方程组得：c1?,c2??,c3?

244?3c?c?c?3?123所以通项公式为an?117n??(?1)n?1 244（3）特征方程为?2???1?0，两个特征根为1?5，可设通项公式为： 2?1?5?an?c1??2????n?1?1?5??c2??2????n?1

?c1?c2?11?51?5?于是有： ?1?5，解这个方程组得： c?,c??121?52525c1?c2?1??221?1?5?1?1?5?所以通项公式为：an? ?????????5?2?5?2?（4）特征方程为：?2?6??9?0?(??3)2?0??1??2?3 于是设通项公式为an?(c1n?c2)?3n?1

nn?c1?c2?1?c1?c2?1从而有：????c1?3,c2??2

3(2c?c)?122c?c?4?12?12所以通项公式为an?(3n?2)?3n?1 3、写出下列循环数列的循环公式。

(1){2n?3n} (2){1?5?2n} (3){n?2n} (4){ncosn?} 4解：（1）显然这个数列的特征根为2、3，所以特征方程为：

(??2)(??3)?0??2?5??6 所以循环公式为an?2?5an?1?6an；

（2）这个数列的特征根为1、2，所以特征方程为：

(??1)(??2)?0??2?3??2

所以循环公式为an?2?3an?1?2an；

（3）这个数列的特征根为1、1、2，所以特征方程为：

(??1)2(??2)?0??3?4?2?5??2?0??3?4?2?5??2 所以循环公式为an?3?4an?2?5an?1?2an；

（4）从通项公式看，数列的特征根是二重虚根，虚根的模为1，幅角为45度，因此数列的一对共轭虚根为1?i2，所以特征方程为(?2?2??1)2?0

?4?22?3?4?2?22??1

所以循环公式为 an?4?22an?3?4an?2?22 nan?1?a第七讲 递归数列的通项（2）

1、求下列数列的部分和：

(1){n(n?1)2} (2){n(n?1)}

解：（1）由于数列是三阶等差数列，所以它的部分和是n的四次函数，于是可设部分和为：Sn?a4n4?a3n3?a2n2?a1n?a0

数列的前五项为4、18、48、100、180，所以前五项的部分和为4、22、70、170、350。从而得方程组：

?a4?a3?a2?a1?a0?4??16a4?8a3?4a2?2a1?a0?22? ?81a4?27a3?9a2?3a1?a0?70?256a?64a?16a?4a?a?17043210???625a4?125a3?25a2?5a1?a0?350解这个方程组：

?1??1?1??1?1?14??1??2481622??039278170???0??41664256170??0?525125625350???011111131517194??1??71518??0196548???0??37175100??0?61369180???01111120202024??61414?125030??1811052?2419480??11

?1??0?0??0?0??1??0?0??0?0?110014??1??1414??02515???0??5526??0?01129740???0114??6??61414??062515???0??33011??0?00041???012101211166911000100114??1??61414??062515???0??33011??0?0034214???000400006000012101100114??61414?62515?

?33011?00041??121011005??0?7? ?7?00041??所以a0?5771,a1?0,a2?,a3?,a4? 646454727110n4?21n2?14n?3所以：Sn?n?n?n??

646412（2）由于数列是二阶等差数列，所以它的部分和是n的三次函数，于是可设部分和为：Sn?a3n3?a2n2?a1n?a0，数列的前四项为2、6、12、20，所以前四项的部分和为2、8、20、40。从而得方程组：

?a3?a2?a1?a0?2??8a3?4a2?2a1?a0?8 ?27a?9a?3a?a?203210??64a?16a?4a?a?403210??1??1?1??11112??1??2488??0???0382720??4166440??01111112??1??376??0???041912??83720??01100112??376? ?1126?4188??1??0?0??01100112??1??376??0?1126??0??294??01100112??15000?24????376??0150052??

1126??0050?2????0158??000158?所以：a3?825224,a2??,a1?,a0?? 1551515832252248n3?6n2?52n?24Sn?n?n?n??

1551515152、求下列数列的部分和：

?an?2?an?1?an?an?2?6an?1?9an (1)?(2)??a1?a2?1?a1?1,a2?12解：（1）由于ar?Sr?Sr?1，所以由an?2?an?1?an得：

Sn?2?Sn?1?Sn?1?Sn?Sn?Sn?1，即Sn?2?2Sn?1?Sn?1或Sn?3?2Sn?2?Sn 又由于数列{an}的前三项为：1、1、2，所以它的部分和的前三项为1、2、4。 部分和的特征方程为?3?2?2?1???1,1?5，故可以设部分和为： 2?1?5?Sn?x?y??2????n?1?1?5??z??2????n?1

???x??1?x?y?z?1??x?y?z?1???1?51?52?5??y?z?2??x?5(y?z)?3??y?所以得：?x? 225????x?5(y?z)??5??3?53?52?5y?z?4?x??z???22?5?2?5?1?5?所以：Sn????25???n?12?5?1?5?????25???n?1?1

（2）由an?2?6an?1?9an?an?3?6an?2?9an?1得：

Sn?3?Sn?2?6(Sn?2?Sn?1)?9(Sn?1?Sn)

即：Sn?3?7Sn?2?15Sn?1?9Sn，特征方程为：?3?7?2?15??9?0

特征根为：1、3、3，数列{an}的前三项为：1、12、63，所以它的部分和的前三项为1、13、76。故可以设部分和为：Sn?x?(yn?z)?3n?1

?x?y?z?17921?所以得：?x?6y?3z?13?x?,y?,z??

424?x?27y?9z?76?所以：Sn?737?(n?)?3n 4243、求下列递推公式确定数列的通项公式。

?a1?1?(1)?an (2)?an?1?2a?3n??a1?8?(3)?an?6 (4)a??n?1a?4n?解：（1）解方程：x??a1?1?an?4 ?a??n?1a?5n??a1?1?9an?10 ?a??n?1an?6?x?2x2?2x?0?x?0,x??1 2x?3an?1a?12an?3a?2an?3a?1??n?3n于是n?1

anan?1anan2an?3从而

an?1a1?1n?11 ??3?2?3n?1，从而an?1?2an3n?1?an?2?3n?1?1ana1x?4?x2?4x?4?0?x??2而且是二重根。 x?5（2）解方程：x?a?5a?2?31111 ??n?n??an?1?2an?43(an?2)3(an?2)3an?2?2an?5所以

1111?n?1n??(n?1)?? an?2a1?233333，所以an??2 nnx?6?x2?5x?6?0?x?2,x?3 x?4所以：an?2?（3）解方程：x?an?6?2an?1?2an?42?an1an?2???于是 a?6an?1?3?2(an?3)2an?3n?3an?4an?3a1?3n?15n?15n36?10?2n所以 ??2??2??2。所以an?n12?5?2an?2a1?2612

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