2012年上海高考数学理科试题及知识点解析(4)

16 （2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

考点： 函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用。 专题： 计算题。

分析： （1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；

（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．

解答：

解：（1）由解得：﹣1＜x＜1．

由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10， ∴

．

＜1得：1＜＜10，

由得：．

（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，

∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x）， 由单调性可知y∈[0，lg2]，

y

又∵x=3﹣10，

x

∴所求反函数是y=3﹣10，x∈[0，lg2]．

点评： 本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题． 21．（2012?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设： ①失事船的移动路径可视为抛物线

；

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；

③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t

（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

17

考点： 圆锥曲线的综合。 专题： 应用题。 分析：

（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程

中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即

可确定救援船速度的大小和方向；

2

（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t），从而可得vt=

，整理得

，利用基本不等式，即可得到结

论．

解答：

解：（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=，代入抛物线方程

由|AP|=

，得救援船速度的大小为

，得∠OAP=arctan

海里/时．…4分

中，得P的纵坐标yP=3．…2分

由tan∠OAP=，故救援船速度的方向为北偏东arctan

2

弧度．…6分

（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t）． 由vt=因为

，整理得

2

2

．…10分

，当且仅当t=1时等号成立，所以v≥144×2+337=25，即v≥25．

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分

点评： 本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．

22．（2012?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x﹣y=1．

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

22

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x+y=1相切，求证：OP⊥OQ；

22

（3）设椭圆C2：4x+y=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合。

2

2

18 专题： 计算题；转化思想。

分析： （1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出三角形的面积．

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b=2，通过求解PO⊥OQ．

（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为

2

=0．证明

．当直线ON不垂直x轴时，设直线

ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出

，，设O到直线OM的距离为d，通过（|OM|+|ON|）d=|OM||ON|，

22222

求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．

左顶点A（﹣

x．

x平行的直线方程为y=

（x+

），即y=

，

），

解答： 解：（1）双曲线C1：

渐近线方程为：y=±过A与渐近线y=

所以，解得．

所以所求三角形的面积为S=（2）设直线PQ的方程为y=kx+b， 因直线PQ与已知圆相切，故

，

．

即b=2，由

得x﹣2bx﹣b﹣1=0，

2

2

2

，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则又y1y2=（x1+b）（x2+b）． 所以

，

=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b=2（﹣1﹣b）+2b+b=b﹣2=0．

22222

故PO⊥OQ．

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=

，则O到直线MN的距离为

．

19 当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞则直线OM的方程为y=

，由

），

得，

所以．

同理，

设O到直线OM的距离为d，

22222

因为（|OM|+|ON|）d=|OM||ON|， 所以

=

=3，

即d=．

综上，O到直线MN的距离是定值．

点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，

点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．

23．（2012?上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={

=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意

，存在

，使得

，

则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．

（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值； （2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1； （3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．

考点： 数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题。 专题： 计算题；证明题；综合题。 分析： （1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），

所以x=2b，结合x＞2，可得x的值． （2）取

=（x1，x1），

=（s，t）根据

，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数

集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，

可以证明出当xn＞1时，x1=1．

i﹣1

（3）[解法一]先猜想结论：xi=q，i=1，2，3，…，n．记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n，

20 通过反证法证明出引理：若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出xi=q﹣1

，i=1，2，3，…，n； [解法二]设

=（s1，t1），

=（s2，t2），则

等价于

i

，得到一正一负的特征，再记

B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数，所

以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得

=

=…=

，最终得到数列的通项公式是xk=x1?（

）

k﹣1

=q

k﹣1

，k=1，2，3，…，n．

解答： 解：（1）选取

=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，

又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4． （2）取

=（x1，x1）∈Y，设

=（s，t）∈Y，满足

，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、

t异号．

因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X， 假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn． 再取

=（x1，xn）∈Y，设

=（s，t）∈Y，满足

，可得sx1+txn=0，

所以s、t异号，其中一个为﹣1

①若s=﹣1，则x1=txn＞1≥x1，矛盾； ②若t=﹣1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；

说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1．

i﹣1

（2）[解法一]猜想：xi=q，i=1，2，3，…，n 记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n 先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P． 任取

=（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现﹣1时，显然有

满足

当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1． 因为Ak+1具有性质P，所以有﹣1

不妨设s1=﹣1，

假设t1∈Ak+1，且t1?Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾． 所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．

i﹣1

再用数学归纳法，证明xi=q，i=1，2，3，…，n 当n=2时，结论显然成立；

i﹣1

=（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得，从而s1、t1其中有一个为

假设当n=k时，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=q，i=1，2，…，k

当n=k+1时，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，

﹣2k1

所以Ak+1═{﹣1，q，q，…，q，xk+1}．

21 取

=（xk+1，q），并设

=（s，t）∈Y，满足，不可能

，由此可得s=﹣1或t=﹣1

若t=﹣1，则xk+1=

j

所以s=﹣1，xk+1=qt=q≤q且xk+1≥q[解法二]设

=（s1，t1），

kk﹣1

，因此xk+1=q综上所述，xi=q

等价于

ki﹣1

，i=1，2，3，…，n

=（s2，t2），则

记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称

注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数． 所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数． 由于

＜

＜

＜…＜

，已经有n﹣1个数

对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，

＜＜＜…＜

…

注意到＞＞＞…＞，所以==…=

从而数列的通项公式是xk=x1?（）

k﹣1

=q

k﹣1

，k=1，2，3，…，n．

点评： 本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与

向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．

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