2012年上海高考数学理科试题及知识点解析(2)

6 ∴﹣≤﹣sin2x≤ 则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣ ∴函数f（x）=故答案为：

的值域是

点评： 本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基

础题．

4．（2012?上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角函数值表示）．

考点： 平面向量坐标表示的应用。 专题： 计算题。

分析： 根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角． 解答：

解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量

∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2 ∴α=arctan2

故答案为：arctan2

点评： 本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．

5．（2012?上海）在

的二项展开式中，常数项等于 ﹣160 ．

考点： 二项式定理的应用。 专题： 计算题。

分析： 研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项． 解答： 6﹣rrr6﹣2r

解：展开式的通项为Tr+1=x（﹣）=（﹣2） x令6﹣2r=0可得r=3

常数项为（﹣2）

3

=﹣160

故答案为：﹣160

点评： 本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．

6．（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则

（V1+V2+…+Vn）═

．

考点： 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积。

7 专题： 计算题。 分析：

由题意可得，正方体的体积

=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的

求和公式可求

解答： 解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an

则∴

=

是以1为首项，以为公比的等比数列

则

（V1+V2+…+vn）=

=

故答案为：

点评： 本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题

|x﹣a|

7．（2012?上海）已知函数f（x）=e（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 （﹣∞，1] ．

考点： 指数函数单调性的应用。 专题： 综合题。

分析： 由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函

数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）?[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围

﹣

解答： 解：因为函数f（x）=e|xa|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数

由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数 又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数 所以[1，+∞）?[a，+∞），故有a≤1 故答案为（﹣∞，1]

点评： 本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指

数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．

8．（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．

考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。 专题： 计算题。

分析： 通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可． 解答： 解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；

因为4π=πl，所以l=2， 半圆的弧长为2π，

2

8 圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1， 所以圆柱的体积为：故答案为：

．

=

．

点评： 本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．

2

9．（2012?上海）已知y=f（x）+x是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ﹣1 ．

考点： 函数奇偶性的性质；函数的值。 专题： 计算题。

分析： 由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案

2

解答： 解：由题意，y=f（x）+x是奇函数，且f（1）=1，

2

所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）=0解得f（﹣1）=﹣3 所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 故答案为﹣1

点评： 本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值

的方程，基本题型．

10．（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=

．

，若

考点： 简单曲线的极坐标方程。 专题： 计算题。

分析： 取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立

等式关系，从而求出所求．

解答： 解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ

在三角形POM中，利用正弦定理可知：

解得ρ=f（θ）=

9 故答案为：

点评： 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及余弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思

想，属于基础题．

11．（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是

（结果用最简分数表示）．

考点： 古典概型及其概率计算公式。 专题： 计算题。

分析： 先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典

概型及其概率计算公式进行求解即可．

解答： 解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球

三个同学共有3×3×3=27种

有且仅有两人选择的项目完全相同有其中

×

×

=18种

表示从三种组合中选一个，

表示剩下的一个同

表示3个同学中选2个同学选择的项目，

学有2中选择

故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是故答案为：

点评： 本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个

数，属于基础题．

12．（2012?上海）在平行四边形ABCD中，∠A=

，边AB、AD的长分别为2、1，若M、

=

N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是 [2，5] ．

考点： 平面向量的综合题。 专题： 计算题。

分析： 画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范

围．

解答： 解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），

10 D（），设==λ，λ∈[0，1]，

M（2+所以

2

），N（=（2+

）?（

），

）

=﹣λ﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，

2

所以λ∈[0，1]时，﹣λ﹣2λ+5∈[2，5]． 故答案为：[2，5]．

点评： 本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能

力．

13．（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为

考点： 函数的图象。 专题： 计算题；综合题。 分析：

根据题意求得（fx）=

，从而y=xf（x）=

，

．

利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．

解答：

解：由题意可得，f（x）=

，

∴y=xf（x）=，

设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S， 则S=

10xdx+

2

（﹣10x+10x）dx

2

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