2012年上海高考数学理科试题及知识点解析(3)

11 =10×+（﹣10）×+10×

==

﹣

+5﹣

=．

故答案为：．

点评： 本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于

难题．

14．（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是

．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题： 计算题。

分析： 作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距

AD，BE=CE．

取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．

解答： 解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，

由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD， 显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．

取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可， 当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，

∴AB=a，所以EB=所以几何体的体积为：故答案为：

． ，EF=

， ×=

．

12

点评： 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．

二、选择题（20分）：

15．（2012?上海）若1+i是关于x的实系数方程x+bx+c=0的一个复数根，则（ ） A．b =2，c=3 B． b=﹣2，c=3 C． b=﹣2，c=﹣1 D．b =2，c=﹣1

考点： 复数相等的充要条件。 专题： 计算题；转化思想。

2

分析： 由题意，将根代入实系数方程x+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程

组

，解方程得出a，b的值即可选出正确选项

22

解答： 解：由题意1+i是关于x的实系数方程x+bx+c=0

∴1+2i﹣2+b+bi+c=0

∴

，解得b=﹣2，c=3

故选B

点评： 本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数

的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题

16．（2012?上海）在△ABC中，若sinA+sinB＜sinC，则△ABC的形状是（ ） A．锐 角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D．不 能确定

考点： 余弦定理的应用；三角形的形状判断。 专题： 计算题。 分析：

由sinA+sinB＜sinC，结合正弦定理可得，a+b＜c，由余弦定理可得CosC=

的取值范围

解答： 解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，

222

由正弦定理可得，a+b＜c

由余弦定理可得CosC=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

可判断C

13 ∴

∴△ABC是钝角三角形 故选C

点评： 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题

17．（2012?上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤10，x5=10，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值

、

、

、

、

的概率也

4

5

均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（ ） A．D ξ1＞Dξ2 B．D ξ1=Dξ2 C．D ξ1＜Dξ2 D．D ξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关

考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。 专题： 计算题。

分析： 根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即

可求得结论．

解答： 解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：

=（x1+x2+x3+x4+x5），

=（

+

+

+

+

）= 且随机变量ξ1、ξ2

的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2， 故选择A．

点评： 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中

档题．

18．（2012?上海）设an=sin

，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（ ）

A．2 5 B．5 0 C．7 5 D．1 00

考点： 数列的求和；三角函数的周期性及其求法。 专题： 计算题。 分析：

由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a25＞0，a26，a27，…，a50＜0，f

（n）=单调递减，a25，a26…a50都为负数，但是|a25|＜a1，|a26|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断

解答：

解：由于f（n）=sin

的周期T=50

由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a25＞0，a26，a27，…，a50＜0 且sin

，sin

…但是f（n）=单调递减

a25，a26…a50都为负数，但是|a25|＜a1，|a26|＜a2，…，|a49|＜a24 ∴S1，S2，…，S25中都为正，而s26，s27，…，s50都为正

14 同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正， 故选D

点评： 本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．

三、解答题（共5小题，满分74分） 19．（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求： （1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

考点： 直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角。 专题： 证明题；综合题。

分析： （1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在

Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；

（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而2

，0），利用空间向量数量积的公式，得到

；

与

夹角θ满足：cosθ=

=（1，

，1），

=（0，

，由此可得异面直线BC

与AE所成的角的大小为

[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=

，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为

．

解答： 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，

∴CD⊥PA

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线 ∴CD⊥平面PDC ∵PD?平面PDC，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形 ∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，

∴PD=

=2

∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2

（2）[解法一]

如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2

，0），E（1，，1）

15 ∴设

=（1，与

，1），=（0，2，0），

=

=

夹角为θ，则cosθ=

∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为

[解法二]

取PB的中点F，连接AF、EF、AC， ∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点

∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角 ∵Rt△PAC中，PC=∴AE=PC=4

∵在△AEF中，EF=BC=

2

2

2

=4

，AF=PB=

∴AF+EF=AE，△AEF是以F为直角顶点的等腰Rt△ ∴∠AEF=

，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为

点评： 本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角

和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．

20．（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；

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