2012年上海高考数学理科试题及知识点解析

1 2012年上海市高考数学试卷（理科）

一、填空题（56分）： 1．（2012?上海）计算：

= _________ （i为虚数单位）．

2．（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B= _________ ．

3．（2012?上海）函数f（x）=

4．（2012?上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 _________ （结果用反三角函数值表示）．

5．（2012?上海）在

6．（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则

7．（2012?上海）已知函数f（x）=e（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 _________ ． 8．（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 _________ ．

9．（2012?上海）已知y=f（x）+x是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= _________ ．

10．（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= _________ ．

，若

2|x﹣a|

的值域是 _________ ．

的二项展开式中，常数项等于 _________ ．

（V1+V2+…+Vn）═ _________ ．

11．（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．

2

12．（2012?上海）在平行四边形ABCD中，∠A=

，边AB、AD的长分别为2、1，若M、

N分别是边BC、CD上的点，且满足

=，则的取值范围是 _________ ．

13．（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 _________ ． 14．（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 _________ ．

二、选择题（20分）： 15．（2012?上海）若1+ A．b =2，c=3

i是关于x的实系数方程x+bx+c=0的一个复数根，则（ ） B． b=﹣2，c=3 C． b=﹣2，c=﹣1 D．b =2，c=﹣1

2

2

2

2

16．（2012?上海）在△ABC中，若sinA+sinB＜sinC，则△ABC的形状是（ ）

A．锐 角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D．不 能确定

17．（2012?上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤10，x5=10，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值

、

、

、

、

的概率也

4

5

均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（ ） A．D ξ1＞Dξ2 B．D ξ1=Dξ2 C．D ξ1＜Dξ2 D．D ξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关

18．（2012?上海）设an=sin

，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（ ）

75 C．

D．1 00

A．250 5 B．

三、解答题（共5小题，满分74分）

3 19．（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求： （1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

20．（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围； （2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数． 21．（2012?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设： ①失事船的移动路径可视为抛物线

；

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；

③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t

（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

22．（2012?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x﹣y=1．

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

2

2

4 （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x+y=1相切，求证：OP⊥OQ；

22

（3）设椭圆C2：4x+y=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

23．（2012?上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={

=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意

，存在

，使得

，

22

则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．

（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值； （2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1； （3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．

5

2012年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（56分）： 1．（2012?上海）计算：

= 1﹣2i （i为虚数单位）．

考点： 复数代数形式的乘除运算。 专题： 计算题。

分析： 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案 解答：

解：

故答案为1﹣2i

点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数

考查的重要内容，要熟练掌握

2．（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B= （﹣，3） ．

考点： 交集及其运算。 专题： 计算题。

分析： 由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案 解答：

解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，

所以A∩B=（﹣，3） 故答案为（﹣，3）

点评： 本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重

要，要准确化简

3．（2012?上海）函数f（x）=

的值域是 ．

考点： 二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用。 专题： 计算题。

分析： 先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数

的值域．

解答：

解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x

∵﹣1≤sin2x≤1

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