洛江区初高中数学衔接教材
又S?ABC?421. AC?BE,解得BE?32（2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r， 连IA,IB,IC，
S?ABC?S?IAB?S?IBC?S?IAC，
即22?解得r?111AB?r?BC?r?CA?r， 2222. 2图3.2-11
（3）??ABC是等腰三角形， ?外心O在AD上，连BO，
则Rt?OBD中，OD?AD?R,OB2?BD2?OD2,
?R2?(22?R)2?12,解得R?92. 8图3.2-12
在直角三角形ABC中，DA为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切
b+c-a圆的半径为（其中a,b,c分别为三角形的三边
2BC,CA,AB的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：
AC2+AB2=BC2.
例6 如图，在VABC中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：AP2=AB2-PB PC. 证明：过A作AD^BC于D. 在RtVABD中，AD2=AB2-BD2. 在RtVAPD中，AP2=AD2-DP2.
\\AP2=AB2-BD2+DP2=AB2-(BD+DP)(BD-DP).
图3.2-13
图3.2-14
QAB=AC,AD^BC,\\BD=DC.
\\BD-DP=CD-DP=PC.
\\AP2=AB2-PB PC.
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正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.
例7 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为
h1,h2,h3，三角形ABC的高为h，
图3.2-15
“若点P在一边BC上，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h.”
请直接应用以上信息解决下列问题： 当（1）点P在VABC内（如图b），（2）点在VABC外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1,h2,h3与h之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）. 解 （1）当点P在VABC内时，
法一 如图，过P作B'C'分别交AB,AM,AC于
B',M',C'，
由题设知AM'=PD+PE， 而AM'=AM-PF，
故PD+PE+PF=AM，即h1+h2+h3=h. 法二 如图，连结，
QSVABC=SVPAB+SVPAC+SVPBC，
图3.2-16
11BC?AMAB?PD22又AB=BC=AC， \\1AC?PE21BC PF， 2图3.2-17
\\AM=PD+PE+PF，即h1+h2+h3=h.
（2）当点P在VABC外如图位置时，
h1+h2+h3=h不成立，猜想：h1+h2-h3=h.
注意：当点P在VABC外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如
图3.2-18
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h1-h2+h3=h，h1-h2-h3=h（如图3.2-18，想一想为什么？）等.
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.
练习2
1．直角三角形的三边长为3，4，x,则x=________.
2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.
3．满足下列条件的VABC，不是直角三角形的是（ ） A．b2=a2-c2 B．?CC．行A:B:?C
?A B
3:4:5 D．a:b:c=12:13:5
4．已知直角三角形的周长为3?3，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.
5．证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
习题3.2 A组
1．已知：在?ABC中，AB=AC，?BAC?120o,AD为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（） A．AD?321AB B．AD?AB C．AD?BD D．AD?BD 222
2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
3．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
4．已知：a,b,c是?ABC的三条边，那么c的取值范围是_________。 a?7,b?10，
5．若三角形的三边长分别为1、a、8，且a是整数，则a的值是_________。
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B组
1．如图3.2-19，等边?ABC的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则?CDE的周长为（） A．6?43 B．18?123 C．6?23 D．18?43 图3.2-19
2．如图3.2-20，在?ABC中，?C??ABC?2?A，BD是边AC上的高，求?DBC的度数。
3．如图3.2-21，Rt?ABC,?C?90o,M是AB的中点，AM=AN，MN//AC，求证：MN=AC。
图3.2-20
图3.2-21
4．如图3.2-22，在?ABC中，AD平分?BAC，AB+BD=AC.求?B:?C的值。
图3.2-22
5．如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为
1BC上一点，且EC=BC，求证：?EFA90o.
4 图3.2-23
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C组
1．已知k?1,b?2k,a?c?2k2,ac?k4?1，则以a、b、c为边的三角形是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定
2．如图3.2-24，把?ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则?A与?1??2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．?A??1??2 B．2?A??1??2 C．3?A??1??2 D．3?A?2(?1??2)
3．如图3.2-25，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求证：?C
4．如图3.2-26，在等腰Rt?ABC中?C?90o，D是斜边AB上任一点，AE?CD于E，BF?CD交CD的延长线于F，CH?AB于H，交AE于G.求证：BD=CG.
图3.2-26
图3.2-24
90o.
图3.2-25
3.2 三角形 练习1
1．证略 2.（1）练习2
oo1．5或7 2.20或80 3.C
2Sa?b?c；（2）.
a?b?c2224．设两直角边长为a,b，斜边长为2，则a?b?1?3，且a?b?4，解得ab?3， 55
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