初高中数学衔接教材((二)[1](3)

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图3.1-29

若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，AB//CD,AD、BC相交于E，EF//AB交BD于F，则：

111（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请+=ABCDEF说明理由；

（2） 请找出SVABD,SVBCD和SVEBD之间的关系，并给出证明.

3.1 相似形 练习1

1．D

DEADx51010?,??,x?，即BF?. BCABx?2833ABBD5353．???,?BD?cm.

ACDC49ABBD4．作CF//AB交AD于F，则，又?AFC??FAE???F得ACFDCABBD. AC?CF,??ACDCEGCE5．作EG//AB交BC于G，??CEG??CAB,??,即

ABACACCEDBDFAC. ??,??ABEGEGEFAB2．设BF?x,?

练习2 1．C

2．12，18

115?3?4?6,?S?A'B'C'?()2?6?54. 2514．（1）因为EH//BD//FG,所以EFGH是平行四边形；（2）当AC?BD时，EFGH为

23．?S?ABC?菱形；当AC?BD,AC?BD时，EFGH为正方形.

5．（1）当CD?AC?BD时，?ACP??PDB；（2）?APB?120.

2o 46

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习题3.1 A组

1．B 2.B 3.S?CDF?9

4．BF为直角三角形ABC斜边上的高，BF?AF?FC，又可证

2AG?BF,?AG2?AF?FC.

B组

1．C 2.C 3.A

EOAEDEOFOEOEAEBE.2）???,EO?OF（????1.BCABDCBCADBCABAB1112（3）由（2）知???.

ADBCOEEFC组

4．（1）?AD//BC,?21.(1)AC?AP?AB或?ACP??B.(2)BC:PC?3:2.

BEAEBCABAD；（2）. ???ADE??ACB,???CDADDEAEAC3．连AD交EF于O，连OM，??ABC为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，?OM为

11Rt?AMD斜边的中线，OM?AD?EF,??MEF为直角三角形.又可证

22?BMF??AME，得MF?ME，故?MEF为等腰直角三角形.

2．（1）先证?AEB??ADC，可得4．（1）成立，?证略.

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111EFEFFDBF111??（，????1,???.2）S?ABDS?BCDS?EBDABCDBDBDABCDEF洛江区初高中数学衔接教材

3.2 三角形

3．2．1 三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1 图3.2-2

如图3.2-1 ，在三角形VABC中，有三条边AB,BC,CA，三个角行A,B, C，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.

已知 D、E、F分别为VABC三边BC、CA、AB的中点， 求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE，设AD、BE交于点G，

QD、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且1DE=AB，

2\\VGDE∽VGAB，且相似比为1：2，

\\AG=2GD,BG=2GE.

图3.2-4

图3.2-3

设AD、CF交于点G'，同理可得，AG'=2G'D,CG'=2G'F. 则G与G'重合，

\\ AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）

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图3.2-5

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例2 已知VABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c，I为VABC的内心，且I在VABC的边BC、A、CA上B的射影分别为D、E、F，求证：

b+c-a. AE=AF=2证明 作VABC的内切圆，则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点，

QAE,AF为圆的从同一点作的两条切线，

\\AE=AF，

同理，BD=BF，CD=CE.

\\b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE

图3.2-6

b+c-a. 2例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证 三角形ABC为等边三角形.

证明 如图，连AO并延长交BC于D.

QO为三角形的内心，故AD平分DBAC，

ABBD（角平分线性质定理） \\=ACDCQO为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.

AB\\=1，即AB=AC. AC图3.2-7 同理可得，AB=BC.

\\VABC为等边三角形.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

即AE=AF=

例4 求证：三角形的三条高交于一点.

已知 VABC中，AD^BC于D,BE^AC于E，AD与BE交于H点.

图3.2-8

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求证 CH^AB.

证明 以CH为直径作圆，

QAD^BC,BE^AC,\\?HDC?HEC90o,

\\D、E在以CH为直径的圆上， \\?FCB DEH.

同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得?BED BAD. \\?BCH BAD，

图3.2-9

又VABD与VCBF有公共角DB，\\?CFB

?ADB90o，即CH^AB.

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

练习1

1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.

2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则三角形的内切圆的半径是___________;

（2）若直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.

3.2.2 几种特殊的三角形

等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 例5 在?ABC中，AB?AC?3,BC?2.求 （1）?ABC的面积S?ABC及AC边上的高BE； （2）?ABC的内切圆的半径r； （3）?ABC的外接圆的半径R. 解 （1）如图，作AD?BC于D.

?AB?AC,?D为BC的中点， ?AD?AB2?BD2?22,?S?ABC

1??2?22?22.250

图3.2-10

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