洛江区初高中数学衔接教材
证明 在VOAB与VODC中，
?AOB行DOC,OAB= ODC,
\\VOAB∽VODC， OAOBOAOD，即. \\==ODOCOBOC又VOAD与VOBC中，?AOD\\VOAD∽VOBC， \\?DAC CBD.
BOC，
图3.1-11
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，DBAC为直角，AD^BC于D.
求证：（1）AB2=BD BC，
AC2=CD CB；
（2）AD2=BD CD
证明 （1）在RtVBAC与RtVBDA中，?B B，
BABC=,即AB2=BD BC. \\VBAC∽VBDA，\\BDBA同理可证得AC2=CD CB.
（2）在RtVABD与RtVCAD中，?C90o-?CAD BAD，
图3.1-12
\\RtVABD∽RtVCAD，\\ADDC=,即AD2=BD DC. BDAD我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7 在VABC中，AD^BC于D,DE^AB于E,DF^AC于F，求证：
AE?ABA F. AC证明 QAD^BC，
\\VADB为直角三角形，又DE^AB，
由射影定理，知AD2=AE AB. 同理可得AD2=AF AC.
\\AE?ABAF AC. 图3.1-13
例8 如图3.1-14，在VABC中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
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图3.1-14
（1） 当
AE11AO22时，有.（如图3.1-14a） ====AC21+1AD32+1AE11AO22时，有.（如图3.1-14b） ====AC31+2AD42+2AE11AO22时，有.（如图3.1-14c） ====AC41+3AD52+3AE1时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示=AC1+n（2） 当
（3） 当
在图3.1-14d中，当
AO的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）. AD解：依题意可以猜想：当
AE1AO2时，有成立. ==AC1+nAD2+n证明 过点D作DF//BE交AC于点F，
QD是BC的中点，\\F是EC的中点， 由
AE1AE2AE2AE1可知==,=.. =，\\AC1+nEFnAF2+nECnAOAE2==. ADAF2+n\\AO1AE=，则=? ADnAC本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.
练习2
1．如图3.1-15，D是VABC的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则
想一想，图3.1-14d中，若
SVADE:S四边形BCDE等于（ ）
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A．2:3 B．4:9 C．4:5 D．4:21
图3.1-15
2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：VABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的VA'B'C'的最大边长是15，求?A'B'C'的面积SVA'B'C'.
4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明
理由；
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、
BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方图3.1-16 形？
5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，VPCD是等边三角形， （1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，VACP∽VPDB？
（2） 当VACP∽VPDB时，求DAPB的度数.
图3.1-17
习题3.1 A组
1．如图3.1-18，AD=DF=FB，AE=EG=GC，VABC中，FG=4，则（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6 C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8
图3.1-18
2．如图3.1-19，BD、CE是VABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ:BC等于（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
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图3.1-19
3．如图3.1-20，YABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，SVBEF=4，求SVCDF.
4．如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，
BE^AC交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：AG2=AF FC.
图3.1-20
图3.1-21
B组
1．如图3.1-22，已知VABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：
EFAF1，AD与CE相交于F，则的值为（ ） +FCFD13A． B．1 C． D．2
22 图3.1-22
2．如图3.1-23，已知VABC周长为1，连结VABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） 1111A． B． C．2002 D．2003
2002200322
图3.1-23
3．如图3.1-24，已知M为YABCD的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与YABCD面积的比是（ ） 1115A． B． C． D．
34612
图3.1-24
4．如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD.
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（1） 求证：OE=OF；
OEOE（2） 求的值； +ADBC112（3） 求证：. +=ADBCEF
图3.1-25
C组
1．如图3.1-26，VABC中，P是边AB上一点，连结CP. （1） 要使VACP∽VABC，还要补充的一个条件是
____________.
（2） 若VACP∽VABC，且AP:P=B2:，则
=_____. BC:PC 图3.1-26
2．如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且
. A?BAC?BDC D（1） 求证：BE?ADCD AE；
BC（2） 根据图形的特点，猜想可能等于那两条线段
DE的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.
图3.1-27
3．如图3.1-28，在RtVABC中，AB=AC，?A90o，
点D为BC上任一点，DF^AB于F，DE^AC于
E，M为BC的中点，试判断VMEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.
图3.1-28
4．如图3.1-29a，AB^BD,CD^BD,垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，
EF^BD于F，我们可以证明
111成立. +=ABCDEF 45
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