初高中数学衔接教材((二)[1]

洛江区初高中数学衔接教材

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

练 习

1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．

?x1?15,?x2??20,?x1?5,?x2??2,2．（1）? （2）? ??y?20,y??15;y??2,y?5;?1?2?1?25?x?,??x1?2,?x2?2,?3 （3）? （4）? ?

y?2,y??2.?1?2?y??4.?3?

2.3.2 一元二次不等式解法

练 习

4

1．（1）x＜－1，或x＞ ； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1；

3

（4）x＝4．

2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，

（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；

（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1； （3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a． 综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a； 当a＝0时，原不等式的解为x＝－1；

当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．

习题2．3 A 组

10?x?,2??x1?2,?x1?0,?31．（1）? ? （2）?

y?0,y?0,?1?1?y?4.2?3???x1?3?2,??x2?3?2, （3）? ???y1?3?2,??y2?3?2;?x3??3,???x4??3,?x1?3,??x2?3,?（4）? ??????y1?1,??y2??1,??y4??1.?y3?1,24?x?,2??5 ??y??12.2?5?2323?x? 33 （3）1－2≤x≤1＋2 （4）x≤－2，或x≥2

2．（1）无解 （2）?仅供参考 36

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B 组

1．消去y，得4x?4(m?1)x?m?0．

221时，方程有一个实数解． 21?x?,1? 将m?代入原方程组，得方程组的解为?4

2??y?1. 当??16(m?1)?16m?0,即m?222．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．

∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a； 当a＝1时，原不等式的无实数解； 当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．

C 组

1．由题意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根，

bc

∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6．

222

∴等式bx＋cx＋4≥0就为－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0，

1

∴－ ≤x≤2．

2

m2m22

2．∵y＝－x＋mx＋2＝－(x－ )＋2＋ ，

24

mm2

∴当0≤ ≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ ；

24m

当 ＜0，即m＜0时，k＝2；

2m

当 ＞2，即m＞4时，k＝2m－2．

2

m?0,?2,?2?m ∴k???2,0?m?4,

4?m?4.??2m?2, 37

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3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.

在一张方格纸上，我们作平行线

l1,l2,l3（如图3.1-1），直线a交l1,l2,l3于

点A,B,C，AB?2,BC?3，另作直线交l1,l2,l3于点A',B',C，'不难发现

bA'B'AB2??. B'C'BC3图3.1-1

我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

ABDEABDE如图3.1-2，l1//l2//l3，有.当然，也可以得出.在运用该=?BCEFACDF定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

例1 如图3.1-2， l1//l2//l3， 且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF. 解 Ql1//l2//l3\\,ABDE2== ,BCEF328312DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35

图3.1-2

例2 在?ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC，

求证：

ADAEDE. ??ABACBC证明（1） ?DE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

??ADE∽?ABC，?ADAEDE??. ABACBC证明（2） 如图3.1-3，过A作直线l//BC，

?l//DE//BC,

?ADAE. ?ABAC过E作EF//AB交AB于D，得?BDEF，

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因而DE?BF.

AEBFDE图3.1-3 ?EF//AB,???. ACBCBCADAEDE???. ABACBC

从上例可以得出如下结论：

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

例3 已知?ABC，D在AC上，AD:DC?2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG//AC交BD于G.

?EG//AC,EF?FC，

??EGF??CDF，且EG?DC，

1BEEG1且?EG//AD,?BEG??BAD，??,

2BAAD2?E为AB的中点. 可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.

图3.1-4 我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，

无解或矛盾则不存在.

ABBD例4 在VABC中，AD为DBAC的平分线，求证：. =ACDC证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，

BABDQAD//CE,\\=.

AEDCQAD平分衆BAC,?BAD由AD//CE知?BAD\\?E?ACE,即AE DAC,

行E,DAC= ACE, AC,

图3.1-5

ABBD. =ACDC例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

练习1 \\1．如图3.1-6，l1//l2//l3，下列比例式正确的是（ ）

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AD=DFCEC．=DF 2．

A．

CEAD B．=BCBEADAF D.=BCDFBC AFBE CE图3.1-6

如图3.1-7，

求BF.

DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,

图3.1-7

3．如图，在VABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.

图3.1-8

4．如图，在VABC中，DBAC的外角平分线AD交BC的延长线于点D，求证：ABBD. =ACDC 图3.1-9

5．如图，在VABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线

DFAC交BC的延长线于F.求证：. =EFAB

图3.1-10

3.1．2．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，?BAC CDB，求证：?DAC CBD.

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