MATLAB技术上机实践报告(4)

（2）M文件SJ403.m代码（学生完成）

（3）程序运行结果（学生完成）

（同频率、同初相位）

（同频率、不同初相位）

【4】上机编程——简谐波横波的演示（SJ404.m） 编写一个能动态演示简谐波运动的程序，用以说明波矢振动状态的传播。 （1）问题解析

设简谐波沿x正方向传播，则简谐波方程可写为：y?Acos?ωt?kx?φ? 其中，A是波幅，ω是圆频率，k是波数（k=2π/λ），φ为相位常量。?ωt?kx?φ?决定位于x处的质元在t时刻的振动状态，称为波的相位。 （2）M文件SJ404.m代码（学生完成）

（3）程序运行结果（学生完成）

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上机实践五 MATLAB在“量子物理”中的应用练习（4学时）

【上机实践目的】使用MATLAB软件编写相应的M文件进行计算模拟“量子物理”中的一些基本问题。 【上机实践内容】 （1）上机练习——黑体辐射随波长的变化规律（SJ501.m）

（2）上机练习——势垒和隧道效应（SJ502.m）

（3）上机编程——双缝干涉图样的动画模拟（SJ503.m） 【1】上机练习——黑体辐射随波长的变化规律（SJ501.m）

根据实验得出两个黑体辐射的实验规律。黑体的总辐射本领（能力）为：Ms?T???T4

这就是斯特藩-玻尔兹曼定律，其中σ =5 .67×10-8W/(m2·K4)，称为斯特藩常数。黑体的单色辐射本领

（能力）的峰值波长与温度的关系为：T?m?b，这就是维恩位移定律，其中，b称为维恩常数，b=2.897×10m·K。 根据普朗克提出的黑体辐射公式，计算斯特藩常数和维恩常数。以温度为参数，单色辐射本领如何随波长变化？ （1）问题解析 在任何温度下对任意波长的电磁波只吸收不反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。黑体的单色辐射本领是在单位时间内从物体表面单位面积上所发射的波长在λ到λ+dλ范围内的辐射能量dP(λ，T)与波长间隔dλ之比：Ms??,T??

-3

dP??,T?

d?是波M??,T?表示在单位时间内从物体表面单位面积发射的波长在附近单位波长间隔内的辐射本领，

长和温度的函数，其单位是W/m3。普朗克提出的黑体单色辐射本领的公式为：

2?hc2 Ms??,T????hc???5?exp???1?kT?????

其中，k为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数，c为真空中的光速。

2πk4T4x5hc将x?代入上式可化为：Ms?x,T??32x

hce?1kTλ?? 对波长从零到无穷大积分就得总辐射本领，即：黑体单位面积辐射能量的功率：

Ms?T???Ms??,T?d?

0?

hc2πk4T4将dx?dλ代入上式可化为：Ms?T???32hckTλ202πk4x3其中，C?32为常数，I??xdx

?e?1hcx34??ex?1dx?CIT

0手工计算积分I有些麻烦，其步骤如下：I??1设y=nx，可得：I??4n?1n??0????x3e?x3?x?nπdx?xeedx?x3e?nπdx ??x??001?en?0n?1??0?11π4yedy??43!?6?4?

15nnn?1n?13?y??1π4其中用了分部积分或Γ函数，还用到公式?4?。由此可得：CI=5.6688×10-8

90n?1n第 17 页

这就是斯特藩常数。理论值与实验值符合得很好。 当波长λ趋于零时，x趋于无穷大，单色辐射本领M(λ,T)趋于零；当波长λ趋于无穷大时，x趋于零，单色辐射本领M(λ,T)也趋于零。因此单色辐射本领随波长的变化有极值。令dM(λ,T)/dx=0，可得方程：

xm?5?1?exp??xm??

一般用迭代算法计算上式之值，除了零解之外，可得xm的值为4.965。由x?Tλm?hc?0.0029 kxmhc式可得： kTλ（2）M文件SJ501.m代码（学生完成）

（3）程序运行结果（学生完成）

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【2】上机练习——势垒和隧道效应（SJ502.m） 如图所示，一质量为m的粒子，能量为E，在力场中沿x轴方向运动。力场势能分布为：

?0V?x????V0x?0,x?a

0?x?a 这种势能分布称为一维势垒。粒子从势垒左边向右运动，求粒子的波函数，演示波的传播。 （1）问题解析

假设EV0?cosh2θ，θ称为能量角。波矢大小可表示为：

2mV0?2mV0Ek0?coshθ，k2??V0aEk?1?0sinhθ V0ak1?~~A2?A1 复振幅为：

*2*?ik1*2?k2sink2 ***2*2k1*k2cosk2?ik1*2?k2sink2????

~~**~k2?k1*A1?k2?k1*A2B1? *2k2????

~~**~k2?k1*A1?k2?k1*A2B2? *2k2????

~~C1?A1*2k1*k2exp?ik1* ***2*2k1*k2cosk2?ik1*2?k2sink2????

**其中，k1*?k1a?k0cosh?，k2是约化波矢。 ?k2a?k0sinh?。k1*和k2取a为长度单位，波函数为：

?1?x*??A1exp?ik1*x*??A2exp??ik1*x*?，x*?0

****?2?x*??B1exp?ik2x??B2exp??ik2x?，0?x*?1 **?3?x*??C1exp?ik2x?，1?x*

~~~~~其中x*?xa。MATLAB可做复数运算，不论粒子能量是大于、等于或小于势垒高度，用上述公式都

能直接计算复振幅和波函数。注意粒子的能量是可调节的参数。

（2）M文件SJ502.m和SJ502Fun.m代码（学生完成）

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