第六讲
一元一次方程—解法大比拼
等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。 等式的类型：恒 等 式
条件等式 矛盾等式
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式。
若a?b，则a?c?b?c。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），结果仍是等式。
ab
若a?b，则ac?bc，若a?b且c?0，则?。
cc
方程：含有未知数的等式。
方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程。
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次
方程。
一元一次方程的最简形式：ax?b（a?0，a，b为已知数） 一元一次方程的标准形式：ax?b?0（a?0，a，b是已知数）
注意：⑴判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证。如方程
x2?2x?1?x2?6是一元一次方程。 ⑵对于方程ax?b的解要分类讨论：
b①当a?0时，方程的解是x?；
a②当a?0且b?0时，方程的解是任意数；
③当a?0且b?0时，方程无解。
一元一次方程的基本解法
解一元一次方程的一般步骤： ⑴去分母； ⑵去括号； ⑶移项；
⑷合并同类项；
⑸未知数的系数化为1。
易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。 易错点2——去分母：漏乘不含分母的项。 易错点3——移项忘记变符号。
板块一：一元一次方程相关概念及基本解法
【例1】下列方程是一元一次方程的是（ ）
223x?43A．?3x?7? B．?5?x?3
xx222C．y?2y?y(y?2)?3 D．3x?8y?13
【例2】（海淀期末复习）已知关于x的方程mx?2?2(m?x)的解满足方程x?
1?0，则m? 。 2例题精讲
1?x ?1?x， 处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，3得知这个方程的解是x??2，那么 处应该是数字（ ） A.7 B．5 C．2 D．?2
【例4】（东城教学评估）已知方程(a?2)xa?1?4?0是一元一次方程，则a? ，x? 。
【例5】（2009人大附中初一期中第14题2分）方程(m?1)x|m|?m?2n是关于x的一元一次方程，若n是
它的解，则n?m?（ ）
1535A． B． C． D．?
4444
7x?11?0.2x5x?1【例6】解方程 ??0.0240.0180.0127x?11?0.2x5x?1解：原方程可化为 根据等式的性质（ ） ??432去分母，得 。 去括号，得 。 移项，得 。 合并同类项，得 。
系数化为1，得 。根据等式的性质（ ）
2x?53?x【例7】1??64
0.1x?30.4x?1【例8】??200.20.5 【例3】（西城期末）某书中有一道解方程的题：
若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式。 两个解的数量关系很多，比如相等、互为相反数、多1、2倍等等。
板块二：两个一元一次方程解的关系问题
【例9】（2009-2010北京四中期中考试附加题33题2分）当m?________时，方程5x?4?4x?3的解和
方程2(x?1)?m?2(m?2)的解相同。
【例10】（人大附中期中练习）已知：3xn?3?m?n?3p与x2?m?3m?2np??1都是关于x的一元一次方程，
且它们的解互为相反数，求关于x的方程
对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法
xxxx1111【例11】解方程： ???????23452345
xxx【例12】解方程：????2009
1?22?32009?2010
1123【例13】解方程：(2x?3)?(3?2x)?x?11191313
x?15?p?1的解。
板块三：复杂的一元一次方程
【例14】解方程：
x?20x?18x?16x?14x?12?????5357911
方程ax?b的解要分类讨论：
板块四：含字母系数的一元一次方程
b。 a②当a?0且b?0时，方程有无数个解，解是任意数。 ③当a?0且b?0时，方程无解。
【例15】已知关于x的方程2a(x?1)?(5?a)x?3b有无数多个解，那么a? ，b? 。
①当a?0时，方程有唯一解x?
【例16】已知：关于x的方程ax?3?2x?b有无数多个解，试求(a?b)2011x?
【例17】（北师大附中期中考试）若a、b为定值，关于x的一元一次方程
何值时，它的解总是x?1，求2a?3b的值。
2kx?ax?bk??2，无论k为 36abx?a?b?5的解。 a?b
1．形如ax?b?c的方程，可分如下三种情况讨论： ⑴c?0，则方程无解；
⑵c?0，则根据绝对值的定义可知，ax?b?0； ⑶c?0，则根据绝对值的定义可知，ax?b??c。
板块五：绝对值方程
2．形如ax?b?cx?d型的绝对值方程的解法：
首先根据绝对值的定义得出，ax?b??(cx?d)，且cx?d≥0；
分别解方程ax?b?cx?d和ax?b??(cx?d)，然后将得出的解代入cx?d≥0检验即可。
3．含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值。
【例18】解绝对值方程： 4x?8?12
【例19】4x?3?2x?9
【例20】（2009-2010北京四中期中考试第37题附加题2分）方程x?1?x?2?5的解是_______。
【例21】解关于x方程：
x?a?b?cx?b?c?dx?a?c?dx?a?b?d????4 dabc
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