概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)(8)

次数在72与88之间的概率． 解：设Y表示命中次数，

E(Y)?np?100?0.8?80，D(Y)?np(1?p)?100?0.8?0.2?16， P{72?Y?88}??(88?8072?80)??()??(2)??(?2)?2?(2)?1?0.9544 446．设某个系统由100个相互独立的部件组成，每个部件损坏的概率均为0.1，必须有85个

以上的部件工作才能使整个系统正常工作，求整个系统正常工作的概率． 解：设Y表示正常工作的部件数，

E(Y)?np?100?0.9?90，D(Y)?np(1?p)?100?0.9?0.1?9， P{85?Y?100}??(100?9085?9010?5)??()??()??() 3333??(3.33)?1??(1.67)?0.9525．

7．对敌人阵地进行100次炮击，每次炮击时炮弹命中次数的数学期望为4，方差为2.25，

求在100次炮击中有380颗到420颗炮弹命中目标的概率．

解：设Xi表示第i次炮击时炮弹命中次数，Y表示命中目标的炮弹总数，Y??Xi?1100i

E(Xi)?4，D(Xi)?2.25，E(Y)?400，D(Y)?225，

P{380?Y?420}??(420?400380?4004?4)??()??()??() 1515334?2?()?1?0.8164．

38．一个加法器同时收到20个噪声电压V1,V2,?,V20，设它们是相互独立的，且都在区间

(0,10)上服从均匀分布，记V??Vi，求概率P{V?105}．

i?120解：E(Vi)?5，D(Vi)?100500，E(V)?100，D(V)?， 123P{V?105}?1?P{V?105}?1??(105?10013)?1??()?0.3483．

2550039．某种电器元件的寿命（单位：小时）T服从参数为

1的指数分布，现随机抽取16件，100设它们的寿命相互独立，求这16个元件的寿命总和大于1920小时的概率． 解：设Xi表示第i个电器元件的寿命，Y表示16个元件的寿命总和，Y??Xi?116i

， E(Xi)?100，D(Xi)?10000，E(Y)?1600，D(Y)?160000P{Y?1920}?1?P{Y?1920}?1??(1920?1600)?1??(0.8)?0.2119．

40010．某个系统由相互独立的n个部件组成，每个部件的可靠性（即正常工作的概率）为0.9，且至少有80%的部件正常工作，才能使整个系统工作．问n至少为多大，才能使系统的可靠性为95%．

解：设Y表示正常工作的部件个数，E(Y)?np?0.9n，D(Y)?np(1?p)?0.09n，

P{0.8n?Y?n}??(n?0.9n0.8n?0.9nn?n)??()??()??()

330.09n0.09nn)?1?0.95， 3?2?(?(nn)?0.975，查表得：?(1.96)?0.975，则?1.96，n?35． 33习题六

1n1n1n1n2221、设x??xi,y??yi，证明：（1）?(xi?x)??xi?x；

ni?1ni?1ni?1ni?1 （2）

?(x?x)(y?y)??xy?nxy。

iiiii?1i?1nn1n1n21n22xn1n222证明：（1）?(xi?x)??(xi?2xix?x)??xi?x ?xi?n?ni?1ni?1ni?1ni?1i?11n22x121n2 ??xi?nx?nx??xi?x2

ni?1nnni?1(2)n?(x?x)(y?y)??(xy?xy?xy?xy)iiiiiii?1i?1nniiiinn ??xy?y?x?x?y?nxyi?1ni?1i?1ni?1i?1

??xiyi?nxy?nxy?nxy??xiyi?nxy

2、由下列样本值计算样本平均值和样本方差： （1）54.67，68.78，70.66，67.70，65.69；

（2）100.3，99.7，102.2，99.3，100.7，100.5，103.1，101.5。 解：（1）x?54.67?68.78?70.66?67.70?65.69?65.5

52221?(54.67?65.5)?(68.78?65.5)?(70.66?65.5)?s????39.8872 225?1???(67.70?65.5)?(65.69?65.5)??2（2）x?2100.3?99.7?102.2?99.3?100.7?100.5?103.1?101.5?100.91

82222?1?(100.3?100.91)?(99.7?100.91)?(102.2?100.91)?(99.3?100.91)s??1.6355?2222?8?1???(100.7?100.91)?(100.5?100.91)?(103.1?100.91)?(101.5?100.91)??3、某射手进行独立、重复的射击，击中靶子的环数及相应的次数如下： 环数 击中次数 10 2 9 3 8 0 7 9 6 2 5 0 4 4 求一次中靶的平均环数及环数的标准差。 解：设x为平均环数，s为环数的标准差

x?10?2?9?3?8?0?7?9?6?2?5?0?4?4?6.9

2?3?0?9?2?0?42222?(10?6.9)?2?(9?6.9)?3?(8?6.9)?0?(7?6.9)?9?12s????3.5684 22220?1????(6?6.9)?2?(5?6.9)?0?(4?6.9)?4?s?1.8894、设总体X～N(12,4)，X1，X2，…，X5为其样本， （1）求样本平均值X大于的13概率；

（2）求样本平均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 解：由样本均值X～N(?,?24)推出X～N(12,)

5n（1）P{X?13}?1?P{X?13}?1??(13?12)?1??(52)?0.1314 25P{X?12?1}?P{X?13}?P{X?11}?1?P{X?13}?P{X?11}（2）

13?1211?12?1??()??()?2?2?(52)?0.26282525

5、设总体X在区间[?2,3]上服从均匀分布，X1，X2，…，X5为其样本，X为样本平均值，求E[X]及D[X]。

a?b?2?31(b?a)2(3?2)225??，D[X]???解：由均匀分布得：E[X]?， 222121212111E[X]?E[(X1?X2?X3?X4?X5)]?(E[X1]?E[X2]?E[X3]?E[X4]?E[X5])?552115D[X]?D[(X1?X2?X3?X4?X5)]?(D[X1]?D[X2]?D[X3]?D[X4]?D[X5])?525126、设总体X～N(20,3)，分别取样本容量n1?10及n2?15的两个样本，X1及X2分别为两个样本的平均值，求P{X1?X2?0.3}。

33)，X2～N(20,)， 1015331?)?N(0,) 由正态分布的可加性：X1—X2～N(20?20,10152解：由题意，得X1～N(20,P{X1?X2?0.3}?P{X1?X2?0.3}?P{X1?X2??0.3}?1?P{X1?X2?0.3}?P{X1?X2??0.3}?1??(0.30.5)??(?0.30.52

)?2?2?(0.30.5)?0.67447、设总体X～N(0,0.3)，X1，X2，…，X10为其样本，求P{?Xi?1102i?1.44}。

解：由于Xi～N(0,0.09)，推出

10Xi?0X?0～N(0,1)，标准化以后设Yi?i 0.30.3则有

?Yi?12i~?2(10)。

10P{?X?1.44}?P{?(2ii?1i?110Xi21.44)?}?P{?2(10)?16}??，查表得??0.1 0.30.09228、设总体X～N(?,?)，X1，X2，…，X20为其样本，S为样本方差，求

P{0.4?2?S2?2?2}。

2解：由于Xi～N(?,?)，设Yi?Xi?X?，则Yi～N(0,1)

nnXi?X21nn?122由S?()??Yi， ?(Xi?X)，推出?2S??n?1i?1?i?1i?12即

(n?1)?22S2~?2(n?1)

22nP{0.4??S?2?}?P{0.4?19??Yi2?2?19}?P{7.6??2(20)?38}i?1

?0.995?0.01?0.9859、设总体X～?(n)，X1，X2，?, Xn,?为其样本，求样本平均值X的数学期望和

2方差。

解：由X～?(n)，则对每个样本Xi有：E[Xi]?n,D[Xi]?2n

n1n11nn2E[X]?E[?Xi]?E[?Xi]??E[Xi]??n

ni?1ni?1ni?1nn1n11D[X]?D[?Xi]?2D[?Xi]?2ni?1nni?122n2D[Xi]?2?2 ?ni?1n10、设随机变量X，Y相互独立，且都服从N(0,1)分布，则

XY2服从什么分布？

解：观察可得类似T?nX222～t(n)，其中X～N(0,1)，Z～?(n)，而?(n)??XiZni?1其中Xi～N(0,1)；现在Y～N(0,1)，则Y～?(1)，于是T?22XY12～t(1)。

1n11、设总体X～N(?,?)，X1，X2，?, Xn，Xn?1为其样本，记X??Xi，

ni?12Xn?1?X1n2，求证：S?(X?X)?in?1i?1S2n～t(n?1)。 n?1证明：据抽样分布定理有：，X～N(?,?2n)，Xn?1～N(?,?2)，于是Xn?1?X～

N(0,??n?12?2n)，则

Xn?1?X?S～N(0,1?1X?X)，得n?1n?（卡方）

n～N(0,1)（标准正态） n?1又

?2S~?(n?1)，则

22?~?2(n?1)n?1于是

Xn?1?XSn?n?1(Xn?1?X?)S?nn?1~t(n?1)。

12、设总体X，Y相互独立，X～N(?1,?)，Y～N(?2,?)，X1，X2，…，Xn1和

22Y1，Y2，…，Yn2分别为其样本，证明：

n2?(Xi??1)2n1?(Yj??2)2j?1i?1n2n1～F(n1,n2)。

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