概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)

习题一

1．设A,B,C为随机试验的三个随机事件，试将下列事件用A,B,C表示出来． （1）仅仅A发生；

（2）所有三个事件都发生；

（3）A与B均发生，C不发生； （4）至少有一个事件发生； （5）至少有两个事件发生； （6）恰有一个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）没有一个事件发生； （9）不多于两个事件发生．

解：（1）ABC ；（2）ABC；（3）ABC；(4)A?B?C；(5)AB?BC?AC；(6)ABC?ABC?ABC；（7）ABC?ABC?ABC；（8）ABC；（9）ABC．

2．写出下列随机试验的样本空间

（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和；

（2）将一枚硬币抛三次，观察出现正反面的各种可能结果； （3）对一目标进行射击，且到击中5次为止，记录射击的次数； （4）将一单位长的线段分为三段，观察各段的长度；

（5）从分别标有号码1，2，? ，10的10个球中任意取两球，记录球的号码． 解：（1）{3，4，5，?，18}；（2）?HHH,HHT,HTH,HTT,THH,TTH,THT,TTT?; (3) {5,6,7,?}；(4) ?(x,y,z):x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?; (5)?(m,n):1?m?10,1?n?10,m?n?．

3．将12个球随机地放入20个盒子，试求每个盒子中的球不多于1个的概率．

12C20.12!解：设P(A)表式所求的概率，则：P(A)??0.01473． 12204．将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求下列事件的概率： （1）成套的书放在一起；（2）成套的书按卷次顺序排好放在一起． 解： （1）设P(A)表示所求的概率，则：P(A)=

7!?4!1?． 10!307!1（2）设P(B)表示所求的概率，则：P(B)=?．

10!720５．一辆公共汽车出发前载有５名乘客，每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开，试求下列事件的概率：

（1）第七站恰好有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去． 解：5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数n?7．

52（1）第七站恰好有两位乘客离去，其方法数m?C5?63，故设P(A)为所求概率，则：

C52?63P(A)??0.1285． 575C7?5!（2）设B?{没有两位及两位以上乘客在同一站离去}，则：P(B)??0.1499． 576．有一个随机数发生器，每一次等可能的产生0,1,2,?,9十个数字，由这些数字随机编成的n位数码（各数字允许重复），从全部n位数码中任意选取一个，其最大数字不超过k（k?9）的概率．

(k?1)n解：设P(A)表式所求的概率，则由全部n位数码的总数为10，得：P(A)?． n10n７．一元件盒中有50个元件，期中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：

（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率； （3）没有次品的概率．

226C25?C15?C10解：（1）设P(A)为所求概率，则：P(A)??6.4397?10?4． 10C5028C25?C25（2）设P(B)为所求概率，则：P(B)??0.03158． 10C5010C40（3）设P(C)为所求概率，则：P(C)?10?0.0825．

C50８．有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章，任意选出3人，记下其纪念章的号码，试求：

（1）最小的号码为5的概率；（2）最大的号码为5的概率． 解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为n?C10，

（1）最小号码为5，则余下2个在6—10中选，即m?C5，设P(A)为所求概率，则：

23C52P(A)?3?0.083．

C102C4（2）同理设P(B)为所求概率，则：P(A)?3?0.05．

C109．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q和r，试求：P(AB),P(AB),P(AB),P(AB)． 解：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r；

； P(AB)?P(B?A)?P(B?A)?P(A)?r?p（单调性）；P(AB)?P(A?B)?P(A?B)?P(B)?r?q（单调性）

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r．

10．一批产品共100件，其中5件不合格．若抽检的5件产品中有产品不合格，则认为整批

产品不合格，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？

解：（法一）设Ai={抽检的5件产品中第i件不合格}，i=1,2,3,4,5 则所求概率为：P(?A)??P(A)?P(A)?P(A)?P(A)?P(A)?P(A)

ii5512345i?1i?11433215C5C95C52C95C5C95C54C95C5?5?5?5?5?5?0.2304． C100C100C100C100C1005C95（法二） P(?Ai)?1?P(A0)?1?5?0.2304．

C100i?1511,P(B)?，在下述各种情况下计算概率321（1）A?B；（2）A和B互不相容；（3）P(AB)?． P(BA)：

81111解：（1）P(BA)?P(B?A)?P(B)?P(A)???．（2）P(BA)?P(B)?．

2236113（3）P(BA)?P(B?A)?P(B)?P(AB)???．

28812．现有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，系统A有效的概率为0.92，系统有

11．设A和B是试验E的两个事件，且P(A)?效的概率为0.93 ．装置在一起后，至少有一个系统有效的概率则为0.988，试求装置后： （1）两个系统均有效的概率；（2）两个系统中仅有一个有效的概率． 解：（1）所求概率为P(AB)，得：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)

?0.92?0.93?0.988?0.862；

（2）所求概率为P(AB?AB)，得：P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)

?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?2?0.862?0.126．

13．10把钥匙上有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率．

解：（法一）从10把钥匙中任取2把的试验结果总数n?C10?45，能打开门意味着取到的二两把钥匙至少有一把能打开门，其取法数m?C3?C3C7?24，故设P(A)为所求概率，

11C3C7?C328则：P(A)?． ?215C102211（法二）记A为“能打开门”，则A?“两把钥匙皆开不了门”，于是

2C7218P(A)?1?P(A)?1?2?1??．

4515C1014．一个盒子中有24个灯泡，其中有4个次品，若甲从盒中随机取走10个，乙取走余下的

14个，求4个次品灯泡被一人全部取走的概率．

解：设A?{次品灯泡全部被甲取走}，B?{次品灯泡全部被乙取走}，则A,B互不相容，

44C10C14所求概率为：P(A?B)?P(A)?P(B)?4?4?0.1140．

C24C2415．设将5个球随意地放入3个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率．

解：5个球随意地放入3个盒子中事件总数n?3，3个盒子中一个或两个盒子中有球数为

5m?3?Cp?Cp15332533，设所求概率为

1333?C5p3?C52p350P(A)，则：P(A)?1??．

813516．已知A1和A2同时发生，则A必发生，证明：P(A)?P(A1)?P(A2)?1． 证明：由已知，A1A2?A，再由单调性，P(A1A2)?P(A)，则

P(A)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)?0?P(A1?A2)?1,．

?P(A)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?1．

17．掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是

正面的概率是多少？

11()6C4P(AB)2解：设A?{第五次出现正面}，B?{第六次停止}，则：P(A|B)? ?2?．

1P(B)()6C255218．证明：P(A|B)?P(A)?0，则P(B|A)?P(B)． 证明：P(B|A)?P(AB)P(AB)??P(B)，即证．

P(A)P(A|B)P(A)．

1?P(B)19．设事件A,B互不相容，且P(B)?0，试证：P(A|B)?证明：P(A|B)?P(AB)P(A)． 互不相容P(B)1?P(B)20．将两颗均匀骰子同时掷一次，已知两个骰子的点数之和是奇数，求两个骰子的点数之和

小于8的概率．

解：此事件的样本空间由36个样本点组成，设A?{两个骰子的点数之和小于8}，B?{两个骰子的点数之和是奇数}，则P(B)?1812，P(AB)?，于是： 36361P(AB)32P(A|B)???．

13P(B)221．设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是次品后，另一件也是次品的概率．

解：设A?{所取得两件中至少有一件是次品}，B?{所取得两件产品都是次品}，

22C6C422?B?A,?AB?B．而P(A)?1?P(A)?1?2?，P(B)?2?，所求概率

C1015C1032P(AB)P(B)151为：P(B|A)????．

2P(A)P(A)5322． 10件产品有6件是正品，4件次品，对它们逐一进行检查，问下列事件的概率是多少？ （1）最先两次抽到的都是正品；（2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品； （3）在第五次检查时发现最后一个次品．

解：设Ai={第i次抽到的是正品}，i=1,2,3,4,5,6．则

(1)P(A1A2)?P(A1)?P(A2|A1)?651??; 1093(2) P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?64531????； 1098714411C4C6C44 (3) 设B?{第五次检查时发现最后一个次品}，则P(B)?． ??51C10C521023．某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最末一位数字是偶数．现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率．

解：设A?{接通电话}，Bi?{拨号i次}，i=1，2，3．Bi构成样本空间的一个划分，由全概率公式：P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)

?1121313??????． 2252102524．某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%，甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4，求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率．

解：设A={能在规定时间内正常工作}，Bi={选取第i个厂家的产品}，i =1，2，3．

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