概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)(6)

解：Y?(X?X)/2???FX(x),y?0?X,X?0，FY(y)??，Y不是连续型随机变量．

y?0?0,X?0?0,X27．设随机变量X~N(?,?2)，写出：（1）Y?e；（2）Y?X的概率密度． 解：（1）函数y?g(x)?ex在整个定义域上处处可导、单调增加，

其反函数为x?h(y)?lny，有x??h?(y)?1，y?0， y11?ey?2?2当y?0时，fY(y)?fX[h(y)]?h?(y)?fX(lny)??(lny??)22?2?1， y(lny??)?1?12e2??,y?0?当y?0时，fY(y)?0，fY(y)???2?； y?0,,y?0?（2）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{?y?X?y}??1fY(y)?FY?(y)?fX(y)?fX(?y)(?1)?e?2?(y??)22?2?y?yfX(x)dx，

；

?1?e?2?(y??)22?2(y??)(y??)?1??122e2??e2?,y?0?当y?0时，fY(y)?0；fY(y)???2?． ?2??0,,y?0?22?3x2,0?x?1;228．设随机变量X的概率密度为f(x)??，写出Y?1?X的概率密度．

?0,其他.2解：当0?x?1时，函数y?g(x)?1?x处处可导、单调增加，

其反函数为x?h(y)?1?y，有|x?|?|h?(y)|?1，0?y?1，

21?y13?1?y， 221?y当0?y?1时，fY(y)?fX[h(y)]?h?(y)?fX(1?y)??3?1?y,0?y?1当y?0时，fY(y)?0；fY(y)??2．

?其他?0,?1?x,0?x?2;29．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，令Y?X(2?X)，写出Y的分

??0,其他.布函数及概率密度．

解：当0?y?1时，FY(y)?P{Y?y}?P{X(2?X)?y}

211xdx??xdx ?1?1?y；

1?1?y22y?0?0,?当y?1时，FY(y)?1；当y?0时，FY(y)?0；FY(y)??1?1?y,0?y?1，

?1,y?1??P{X?1?1?y}?P{X?1?1?y}??01?1?y?1,0?y?1?fY(y)?FY?(y)??21?y．

?0,其他?（x?2y)?2e?,0?x,0?y;30．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度是f(x,y)??，求随机

?0,其他.变量Z?X?2Y的分布函数和概率密度． 解：FZ(z)?P{Z?z}?P{X?2Y?z}

z?x?z?z?z??dx?22e?(x?2y)dy,z?0?1?e?ze,z?0??0??， 0z?0?0,?0,z?0??ze?z,z?0． fZ(z)?FZ?(z)???0,z?031．已知随机变量X、Y相互独立，X服从参数为?的指数分布，Y服从区间(0,h)(h?0)上的均匀分布，写出X?Y的概率密度．

解：G?{(x,z)x?0,0?z?x?h}?{(x,z)x?0,x?z?x?h}，

(1)0?z?h,fZ(z)??(2)z?h,fZ(z)??????????fX(x)fY(z?x)dx???e??x0zz?hzfX(x)fY(z?x)dx???e??x11dx?(1?e??z)； hh11dx?e??z(e?h?1)； hh??0,z?0??1(3)z?0,fZ(z)?0．fZ(z)??(1?e??z),0?z?h．

?h?1??z?he(e?1),z?h??h32．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度是f(x,y)???2(x?y),0?x?y?1;，求随机

其他.?0,变量Z?X?Y的概率密度．

解：G?{(x,z)0?x?z?x?1}?{(x,z)0?x?1,2x?z?x?1}，

(1)0?z?1,fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx??2zdx?z2；

????z20(2)1?z?2,fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx??2zdx?2z?z2；

z2z?1?0,z?0或z?2?(3)z?0或z?2,fZ(z)?0．fZ(z)??z2,0?z?1．

?2z?z2,1?z?2?33．设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,1)，Y~N(0,1)，求Z?X/Y的概率密度． 解：G?{(y,z)yz?R,y?R}，

????fZ(z)????yf(yz,y)dy??0y?1e2??y2z2?y22dy??y???01e2??y2z2?y22dy?1?(z2?1)，

z?R．

习题四

1．一箱产品中有件3件正品和2件次品，不放回地任意取2件，X表示取到的次品数，求平均次品数E(X)． 解：X的分布律：

X P

0 1 2 3 106 101 10E(X)?0?361?1??2??0.8． 1010101?xe，???x???， 22．设随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为f(x)?计算E(X)和D(X)． 解：E(X)?1?xx?f(x)dx?x??????2edx?0， ??????1?xE(X2)??x2?f(x)dx??x2edx??x2e?xdx?2，

????02????D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2．

?x,0?x?1;?3．设随机变量X的概率密度为f(x)??2?x,1?x?2;，试求E(X)和D(X)．

?0,其他.?解：E(X)?2?????x?f(x)dx??x2dx??x(2?x)dx?1，

0121320112E(X)??x?f(x)dx??xdx??x2(2?x)dx?????7， 6D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1． 62?x?x2?2e2?,x?0;4．设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f(x)???，(??0),

?0,x?0.?试求E(X)和D(X)．

????解：E(X)????x?f(x)dx??0xx?x2?2e2?dx?x?x22?2?，

E(X2)??x2?f(x)dx????????0x2?2?e2?dx?2?2，

2D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?2?2?2．

??t5．地面雷达搜索飞机，在时间段(0,t)内发现飞机的概率为P(t)?1?e试求发现飞机的平均搜索时间．

，(??0)，

?1?e??t,t?0;??e??t,t?0;解：设随机变量T表示发现飞机的时间，F(t)??，f(t)??，

t?0.?0,?0,t?0.E(T)??t?f(t)dt??t?e??tdt???0????1?．

226．已知随机变量X~U(??,?)，试求Y?cosX和Y?cosX的数学期望．

?1???1?,(??,?);dx?0， 解：f(x)??2?，E(Y)??cosx?f(x)dx??cosx????2???0,其他.E(X2)??cos2x?f(x)dx??cos2x???????11dx?． 2?27．已知随机变量X~P(?)，试求E(1)． 1?X解：P{X?k}??kk!e??(k?0,1,2,?)，

??11?k???ke????E()???e?e??1?X1?kk!(1?k)!?k?0k?0?n!?n?1??ne???(?n?0??nn!?1)

?e???(e??1)?1?(1?e??)．

?e?x,x?0;?2X8．随机变量X的概率密度为f(x)??，求Y?2X和Z?e的数学期望．

0,x?0.?解：E(Y)????????2x?f(x)dx??2xe?xdx?2，

0??0??E(Z)??e?2x?f(x)dx??e?2xe?xdx???1． 3?12y2,0?y?x?1;9．设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

?0,其他.试求：E(X)、E(Y)、E(XY)、E(X?Y)． 解：E(X)?2x?f(x,y)d??dx12xydy?????D001x224； 5E(Y)???y?f(x,y)d???dx?12y3dy?D001x1x3； 51； 2xE(XY)???xy?f(x,y)d???dx?12xy3dy?D0022221E(X?Y)???(x?y)?f(x,y)d???dx?(x2?y2)12y2dy?D0016． 1510．随机变量Y服从参数为1的指数分布，令随机变量Xk??试求：E(X1?X2)数学期望．

?0,Y?k;，

k,Y?k.??e?y,y?0;?0,Y?1;?0,Y?2;解：f(y)??，X1??，X2??，

?1,Y?1.?2,Y?2.?0,y?0.E(X1)?0?P{Y?1}?1?P{Y?1}?e?1E(X2)?0?P{Y?2}?2?P{Y?2}?2e?2E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)?e?1?2e?2．

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