概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)(3)

至少有两个粒子穿透屏蔽的概率为：

P?X?2??1?P?X?2??1??P?X?0??P?X?1??

01?1??C100(0.01)0(0.99)100?C100(0.01)1(0.99)99??1??0.3661?0.3697??1?0.7358?0.2642.

8、设随机变量X服从泊松分布，且P?X?1??P?X?2?，计算P?X?4?. 解：由题意，X~P(?),且P?X?1???11!e???P?X?2???22!e??，得??2,

24?22e?2.?0.0902. 故P?X?4??4!3e9、在一个周期内，从一个放射源放射出的粒子数X是服从泊松分布的随机变量，如果无粒

子放射出的概率为1/3，试求： （1）X的分布律；（2）放射出一个以上粒子的概率. 解：（1）P?X?0???01e???e???，得??ln3．故X的分布律为： 0！3(ln3)k?ln31(ln3)k?X?k??e?,k?0,1,2,?．

k!3k!（2）放射出一个以上粒子的概率为：

1?P?X?1?=1??00!e????11!e??=1?11?ln3?0.3005． 3310、一个口袋中有六个球，在这六个球上标明的数字分别为-3，-3，1，1，1，2，从袋中任取一个球，试求取得的球上标明的数字X的分布律及分布函数. 解：由题意有：P?X??3??也即

X -3 1 2 111,P?X?1??,P?X?2?? 326P?X?xi? 1 31 21 6???0. 当x<-3时，F(x)?P?X?x??P?当?3?x?1时，F(x)?P?X?x??P?X??3??1. 3115??. 326111当2?x时，F(x)?P?X?x??P?X??3??P?X?1??P?X?2?????1.可得

326当1?x?2时，F(x)?P?X?x??P?X??3??P?X?1???0,x??3;?1?,?3?x?1;?3F(x)??.

5?,1?x?2;?6?1,2?x.?11、设随机变量X的分布函数为F(x)，用F(x)表示下述概率：

(1)P?X?a?;(2)P?X?a?;(3)P?X?a?;(4)P?X?a?.

解：(1)P?X?a??F(a);(2)P?X?a??F(a?0);

(3)P?X?a??1?P?X?a??1?F(a?0)；(4)P?X?a??1?P?X?a??1?F(a).

12、（柯西分布）随机变量X的分布函数是：F(x)?A?Barctanx,???x???, 试求：（1）系数A和B；（2）X落在区间（-1，1）内的概率；（3）X的概率密度．

??A?B?0?11?2解：（1）由limF(x)?0,limF(x)?1可得：?,解得A?,B?;

x???x???2??A??B?1?2?1; 211,x?R． （3）X的概率密度f(x)?F?(x)???1?x2（2）P??1?X?1??F(1)?F(?1)??1?（1?x）e?x,x?0,13、设随机变量X的分布函数为：F(x)??

0,x?0.?试求X的概率密度，并计算P?X?1?和P?X?3?．

?xe?x,x?0,解：X的概率密度f(x)?F?(x)??P?X?1??F(1)?1?2e?1?0.2642；

x?0.?0,P?X?3??1?P(X?3)?1?F(3)?1?(1?4e?3)?4e?3?0.1991．

14、设随机变量X的概率密度为：f(x)?Ae试求：（1）系数A；（2）X的分布函数． 解：（1）由

???2x,???x???,

0?????f(x)dx?1，即A?e?????2xdx?A(?e2xdx??e?2xdx)?1，求得A?1;

??0 （2）X的分布函数F(x)??x???12xe,x?0?x?2?2uf(u)du?A?edu??．

???1?1e?2x,x?0??2?6x(1?x),0?x?1,15、设随机变量X的概率密度为：f(x)??

0,其他.?试求：（1）求X的分布函数；（2）确定满足P?X?b??P?X?b?的b．

解：（1）X的分布函数F(x)??x??x?0?0,?f(u)du??3x2?2x3,0?x?1；

?1,x?1?1123,故有3b?2b?，22 （2）由P?X?b??P?X?b?，得F(b)?1?F(b)，F(b)?解得b?1?31（b?舍去）．.

22216、从一批子弹中任意抽出5发子弹，如果没有一发子弹落在靶心2 cm以外，则整批子弹

??Axe?x,0?x?3,将被接受．设弹着点与靶心的距离X（cm）的概率密度为：f(x)??

??0,其他.试求：（1）系数A；（2）该批子弹被接受的概率 解：（1）由

?????f(x)dx?1，即A?xe?????x2dx?A?xe03?x2dx?1，求得A?2;

1?e?9 （2）其中一发子弹被接受的概率为：

P?X?2??F(2)??Axe??2?x22dx?1?e?9?20xe?x21?e?4dx?. ?91?e?1?e?4?所以，该批子弹被接受的概率为：?． ?9?1?e??17、在长为l的线段上随机地选取一点，将其分为两段，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少？

5?0,x?0;?x?解：设在线段上随机选取的点为X，X的分布函数为：F(x)??,0?x?l;

?l??1,x?l.由短的一段与长的一段之比小于1/4可得

4lX1l?X1l?或?，即有X?或X?

5l?X4X45而P?X???4ll?4l?4l?1l1???1?F()?. ，PX??1?PX???F()?????55?5?5?555??2所以，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率为0.4．

18、设随机变量Y服从（0,5）上的均匀分布，求x的方程：4x?4xY?Y?2?0 有实根的概率．

解：方程4x?4xY?Y?2?0有实根的充要条件为

2(4Y)2?4?4?(Y?2)?16Y2?16(Y?2)=16(Y?1)(Y?2)?0，

得Y??1或Y?2．

?1?,0?y?5由题设知Y具有概率密度：f(y)??5

??0,其他从而P?Y??1????1??f(y)dy?0，P?Y?2?????2f(y)dy??5213dy?． 55Y?2??P?Y??1??故有实根的概率P?P?33?0?． 5519、一电子信号在（0,T）时间内随机地出现，设0

（1）信号出现在区间(t0,t1)内的概率；（2）信号在t0时刻前不出现，在(t0,t1)内出现的概率. 解：电子信号出现的时间X在（0,T）上服从均匀分布，其分布函数为

?0,x?0;?x?F(x)??,0?x?T;

?T??0,T?x.（1）信号出现在区间(t0,t1)内的概率为P?t0?X?t1??F(t1)?F(t0)?(2) 信号在t0时刻前不出现，在(t0,t1)内出现的概率.为

t1?t0; TP?t0?X?t1X?t0??P?X?t0,t0?X?t1?P?t0?X?t1? ?P?X?t0?1?P?X?t0??F(t1)?F(t0)t1?t0?.

1?F(t0)T?t0; （2） PX?1.58. 20、若随机变量X~N(0,1),试求：（1）P?X??2.5?解：（1）P?X??2.5?=?(?2.5)?1??(2.5)=1?0.9938?0.0062； （2）PX?1.58=1?PX?1.58=1???(????????1.58?0?1.58?0?)??()? 11? =1??(1.58)??(?1.58)=2?2?(1.58)=2?2?0.9430?0.1140． 21、若随机变量X~N(2,0.16),试求：（1）P?X?2.3?; （2）P?1.8?X?2.1?. 解：（1）P?X?2.3?=1?P?X?2.3?=1??(=1?0.7724?0.2266；

2.3?2)=1??(0.75) 0.42.1?21.8?2)??()=?(0.25)??(?0.5)=0.2902． 0.40.422、设某城市男子的身高X~N(170,36)（单位：cm），问应如何选择公共汽车门的高度，

（2）P?1.8?X?2.1?=?(使男子乘车时与车门碰头的机会小于0.01？

解：假设选择公共汽车的高度为lcm时使男子乘车与车门碰头的机会小于0.01． 即有P?X?l??0.01，也即1?P?X?l??0.01，P?X?l??0.99， 查表得：

?(l?170l?170)??(2.33)，从而，?2.33，l?184(cm) 66所以，公共汽车的车门高度为184cm时男子乘车与车门碰头的机会小于0.01．

23、两台电子仪器的寿命分别为X1,X2，且X1~N(40,36)，X2~N(45,9)，若要在45小时的期间内使用这种仪器，问选用哪一台仪器较好？若在52小时内使用呢？ 解：要在45小时的期间内使用这种仪器，两台电子仪器使用寿命的概率分别为

45?400?405205)??()??()??(?)??(); 6663645?450?45P?0?X2?45???()??()??(0)??(?15)??(0)

335?()??(0)故选用第一台较好； 6P?0?X1?45???(要在52小时的期间内使用这种仪器，两台电子仪器使用寿命的概率分别为

52?400?4020)??()??(2)??(?)??(2); 66352?450?4577P?0?X2?52???()??()??()??(?15)??()

33337?()??(2)故选用第二台较好。 3P?0?X1?52???(24、某工厂生产的电子管寿命X（单位：小时）服从正态分布N(1600,?)，如果要求电子管的寿命在1200小时以上的概率达到0.96，求?值.

2??0.96,即 解：由题意有，P?X?1200??0.04,?(P?X?1200?(4001200?1600?400)?0.04，1??(400?)?0.04查表可得

?)??(1.75)，从而

??1.75，得??228.

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