概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)(2)

则由全概率公式：

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)

?0.25?0.1?0.5?0.2?0.25?0.4?0.225．

25．两批同类产品各自有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意中将第一批的一件产品混入第二批，现从第二批中取出一件，求第二批中取出次品的概率． 解：设B?{第二批中取出次品}，A?{第一批的次品混入第二批}，

A,A构成样本空间的一个有限划分，由全概率公式： P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?12111????0.0985． 1211121126．在一个盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中，第二次比赛时，同样任意的取出三个球，求第二次取出三个新球的概率．

解：设B={第二次取出3个新球}．可以看出，直接确定B的概率P(B)是困难的，原因是，第一次比赛之后，12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚，而一旦新旧球的分布情况明确了，那么相应的概率也容易求得．为此，设Ai={第一次取到的3个球中有i个新球}，

i=0，1，2，3．容易判断A0,A1,A2,A3构成一个划分．由于

i3?i3C9C6C9?i，又P(Ai)?,i?0,1,2,3P(B|A)?,i?0,1,2,3． i33C15C15i3?i3C9C6C9?i由全概率公式，得：P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?? 32(C)i?0i?01533?1680?7560?7560?1680?0.0893．

20702527．仓库中存有从甲厂购进的产品30箱，从乙厂购进的同类产品25箱，甲厂的每箱装12

个，废品率为0.04，乙厂的每箱装10个，废品率0.05，求： (1)任取一箱，从此箱中任取一个为废品的概率；

(2)将所有产品开箱后混放，任取一个为废品的概率．

解：(1)设B?{取出的是废品}，A?{从甲厂取出}，A,A构成一个划分，则

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

30?1225?10?0.04??0.05?0.0441

30?12?25?1030?12?25?1030?12?0.04?25?10?0.05?0.0441 (2)

30?12?25?10?28．已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98，而误认废品是合格品的概率是0.05，求检查合格的一件产品确系合格的概率． 解： 设A={检查合格产品}，B={确系合格}．

由已知，P(B)?0.96,P(A|B)?0.98,P(A|B)?0.05， 由贝叶斯公式：P(B|A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B) ?P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)0.96?0.98?0.997．9

0.96?0.98?0.04?0.05?29．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者，现随机挑选一人，此人恰为色盲者，问此人 是男人的概率为多少（假设男人女人各占总人数的一半）． 解：设A?{色盲者}，B?{男人}， B,B构成样本空间的一个划分，且P(A|B)?0.05，

P(A|B)?0.0025，由贝叶斯公式：P(B|A)?P(B)P(A|B)

P(A)1?0.05P(B)P(A|B)2???0.9524．

11P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.05??0.00252230．设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于检验手段不完善，带菌者呈阳性反应的概

率为0.99，而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05，若某人检查结果是呈阳性反应，他是带菌者的概率是多少？

解：设A?{结果呈阳性}，B?{是带菌者}，则B,B构成样本空间的一个划分，且

P(A|B)?0.99，P(A|B)?0.05，由贝叶斯公式：

P(B|A)??P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)?

P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)0.03?0.99?0.3798．

0.03?0.99?0.97?0.0531．证明：如果P(A|B)?P(A|B)，则事件A和B相互独立． 证明：由已知和条件概率公式，有

P(AB)P(AB)?，即P(B)P(AB)?P(B)P(AB)，

P(B)P(B)即P(B)P(A?AB)?(1?P(B))P(AB)，又AB?A，上式得：

P(B)[P(A)?P(AB)]?[1?P(B)]P(AB)，有P(AB)?P(A)P(B)，即A和B相互独立．

32．设一个n位二进制数是由n各“0”或“1”数字组成，每一位出现错误数字的概率是

各位数字出现错误与否是独立的，问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少？ p，

解：每一位出现正确数字的概率是1?p，由已知，各位数字出现正确与否也是独立的，于是所求概率P(A)?1?(1?P)．

n33.设事件A,B,C相互独立，且P(A)?111,P(B)?,P(C)?，试求： 432（1）三个事件都不发生的概率；

（2）三个事件中至少有一个事件发生的概率； （3）三个事件中恰有一个事件发生的概率； （4）至多有两个事件发生的概率.

解：（1）P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?(1?)(1?)(1?)?114313（2）P(A?B?C)?1?P(ABC)?1??；

44121； 4（3）P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?12131132111?????????； 4324324322411123???． 43224（4）1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)?1?34．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中有10只白球， 6只红球，9只黑球．从两袋中各取一球，试求两球颜色相同的概率． 解：设A,B,C表示两球同为白色、红色和黑色，A,B,C互不相容， 则所求概率为：

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?31076159??????0.3312． 25252525252535．两部机床独立的工作，每部机床不需要工人照管的概率分别 为0.9和0.85，试求：

(1)两部均不需照管的概率； (2)恰有一部需要照管的概率； (3)两部同时需要照管的概率．

解：设A?{甲机床不需要工人照管}，B?{乙机床不需要工人照管}， 则P(A)?0.9，P(B)?0.85，

(1)P(AB)?P(A)P(B)?0.9?0.85?0.765

(2)P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)

?0.9?0.15?0.1?0.85?0.22

(3) P(AB)?P(A)P(B)?0.1?0.15?0.015．

36．求下列系统（图1.6）能正常工作的概率，其框图的字母代表组件，字母相同，下标不同的均为同一类组件，知识装配在不同的位置，A类组件正常工作的概率为?a，B类组件正常工作的概率为?b，C类为?c．

解：(1)所求概率为P[A(B?C)]?P(A)P(B?C)?P(A)[P(B)?P(C)?P(BC)]

??a?b??a?c??a?b?c．

(2)所求概率为

P(A1A4?A2A5?A3A6)?P(A1A4)?P(A2A5)?P(A3A6)?P(A1A2A4A5)?P(A1A3A4A6)?P(A2A3A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)，

又A1,A2,A3,A4,A5,A6 相互独立，则

P(A1A4?A2A5?A3A6)?3?a?3?a??a??a(3?3?a??a)．

(3)所求概率为

246224P[(A1?B1)(A2?B2)?(An?Bn)]?P(A1?B1)P(A2?B2)?P(An?Bn)?[P(A1)?P(B1)?P(A1B1)][P(A2)?P(B2)?P(A2B2)]?[P(An)?P(Bn)?P(AnBn)]?(?a??b??a?b)n．

习题二

1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上，如果取出不合格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率．

解：设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X，则X的所有可能取值为：0，1，2，3。分布律为：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045, 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}?????0.0046

1211101211109X 0 0.75 1 0.2045 2 3 也可以表示为：

P?X?k? 0.0409 0.0046 2、做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p(0

（1）首次成功时试验次数Y的分布律；（2）在n次成功之前已经失败次数X的分布律. 解：设Ai={第i次试验成功}，i=1,2,…，则

（1）P?Y?k??P(A1A2?Ak?1Ak)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)

?p(1?p)k?1,k?1,2,?

（2）做n+m次独立试验，指定n次成功，m次失败的概率为：(1?p)p.

随机事件{X?m}发生相当于第n+m次试验必定成功，而前n+m-1次试验中有m次失败，

mnmmmn共有Cn,2,? ?m?1.次不同的方式，故：P{X?m}?Cn?m?1(1?p)p,m?0,1?2?3、 设随机变量X的分布律为：P?X?k??C???,k?1,2,3.求C的值．

?3??2??2??2?解：由P?X?1??P?X?2??P?X?3??1即C????C????C????1，也即可，?3??3??3?得C?23k27． 384、 随机变量X的分布律为：P?X?k??(1?a)ak,k?0.1,2,?

（1）a可取何值？（2）证明对于任意两个正整数s和t，有PX?s?tX?s?P?X?t?.

??1?ak解：（1）?P?X?k??(1?a)?a?(1?a)lim?1，得0

k??1?ak?0k?0??k(2) PX?s?tX?s???P?(X?s?t)?(X?s)?P?X?s?t???P?X?t.?

P?X?s?P?X?s?5、一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X

是其中的次品数，若

（1）每次取出的产品仍放回；（2）每次取出的产品不再放回。写出X的分布律. 解：（1）随机的取出产品并放回，每次取出的产品是次品的概率是p=0.2，共取4次相当于做4次伯努利试验，则X~B(4,0.2).

413231C20C5C20C52C20C5C20(2) P?X?0??4，P?X?1??，，， ????PX?2?PX?3?444C25C25C25C254?kC54C5kC20P?X?4??4，把上述概率统一改写为：P?X?k??,k?0,1,2,3,4 4C25C256、某射手每次射击击中目标的概率为0.8，现连续射击30次，写出击中目标的次数X的分

布律，并求出30次射击未击中目标的概率.

解：该射手每次射击要么击中目标，要么没击中目标，击中目标的概率p=0.8，连续射击30次相当于做30重伯努利试验. 击中目标的次数是X，故X~B(30,0.8). 30次射击未击中目标的概率为：P?X?0??(1?0.8)30?1.0737?10?21.

7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01，现放射出100个粒子，求至少有两个粒子穿透屏蔽的概率.

解：放射源放射出的任一粒子要么穿透屏蔽，要么不能穿透，穿透屏蔽的概率p=0.01，放射100个粒子相当于做100重伯努利试验. 穿透屏蔽的次数是X，故X~B(100,0.01).

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