概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)(7)

x?1?3?e,x?0;11．设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为f(x)??3，

?0,x?0.??2y,0?y?1;,求E(XY)和E(X?Y)． f(y)???0,其他.解：E(X)??????x?f(x)dx????0????21?xe3dx?3;E(Y)??y?f(y)dy??2y2dx?;

??033xE(XY)?E(X)E(Y)?2;E(X?Y)?E(X)?E(Y)?11． 32212．若随机变量X与Y相互独立，都服从标准正态分布，试求：E(X?Y)和

D(X2?Y2)．

解：X~N(0,1)，E(X)?0，D(X)?1，E(X2)?D(X)?[E(X)]2?1；

Y~N(0,1)，E(Y)?0，D(Y)?1，E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1；

E(X2?Y2)?E(X2)?E(Y2)?2，

D(X2?Y2)?D(X2)?D(Y2)?2D(X2)?2{E(X4)?[E(X2)]2}

?2{?x4????1e2??x22dx?1}?2{3?1}?4．

13．民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车．如果到达某一车站无人下车，则在该站不停车，设随机变量X表示停车次数，并假定每个乘客在各个车站下车是等可能的．求平均停车次数． 解：X~B(10,p)，p?1?(9209)，E(X)?np?10[1?()20]． 101014．将n个球(1~n号)随机地放入n只盒子(1~n号)中，1只盒子装1个球．若1个球装入与球同号的盒子中，称为1个配对，记X为总配对数，求E(X)． 解：X~B(n,p)，p?(n?1)!1?，E(X)?np?1． n!n?6xy2,0?x?1,0?y?1;15．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，

0,其他.?试写出(X,Y)的协方差矩阵．

解：E(X)?2x?f(x,y)d??6xdxy????dy?D001212， 311D(X)?E(X2)?[E(X)]2?; ，

182E(X2)???x2?f(x,y)d??6?x3dx?y2dy?D0011E(Y)???y?f(x,y)d??6?xdx?y3dy?D002211113， 43322，D(X)?E(X)?[E(X)]?；

805E(Y)???y?f(x,y)d??6?xdx?y4dy?D0011E(XY)???xy?f(x,y)d??6?x2dx?y3dy?D001， 2cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0；

?1?0cov(X,Y)??18??D(X)协方差矩阵：???． ??3cov(X,Y)D(Y)???0?80??16．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)???1,0?x?1,y?x;?0,其他.，证明X与

Y不相关．

证：E(X)???x?f(x,y)d???xdx?dy?D0?x1xD0?x1x2， 3E(Y)???y?f(x,y)d???dx?ydy?0， E(XY)???xy?f(x,y)d???xdx?ydy?0，

D0?x1xcov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0，

显然D(X)?0，D(X)?0，故?XY?0，所以X与Y不相关． 17．设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为，

Y 1 2 X ?1 0.2 0.1 0 0.1 0.0 1 0.1 0.1 3 求X与Y的相关系数． 解：

0.2 0.1 0.1 X P ?1 0.5 0 0.2 1 0.3 E(X)??1?0.5?0?0.2?1?0.3??0.2，

E(X2)?(?1)2?0.5?02?0.2?12?0.3?0.8，D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.76；

Y P 1 0.4 2 0.2 3 0.4 E(Y)?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2，

E(Y2)?12?0.4?22?0.2?32?0.4?4.8，D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?0.8；

XY P ?3 0.2 ?2 0.1 ?1 0.2 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.1 E(XY)?(?3)?0.2?(?2)?0.1?(?1)?0.2?0?0.2?1?0.1?2?0.1?3?0.1??0.4，cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0，?XY?18．设随机变量X的概率密度为f(x)?是否相互独立？ 解：E(X)?cov(X,Y)?0．

D(X)D(Y)1?xe，???x???，问X与X是否不相关？21?xx?f(x)dx?x??????2edx?0， ??????1?xE(X2)??x2?f(x)dx??x2edx??x2e?xdx?2，

????02????D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2；

令Y?X，E(Y)?2??2?????x?f(x)dx??xe?xdx?1，

0??2????1?xE(Y)??x?f(x)dx??xedx??x2e?xdx?2，

????02D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?1；

E(XY)??xx?f(x)dx??xx????????1?xedx?0， 2cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0，?XY?所以X与Y不相关，不相互独立． ．

cov(X,Y)?0，

D(X)D(Y)19．设D(X)?25，D(X)?36，相关系数?XY?0.4，试求：D(X?Y)和D(X?Y)．

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(X)?85D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(X)?37

20．设随机变量X~U(0,1)，试求X的k阶原点矩． 解：f(x)????1?1,(0,1);1kkk；E(X)??x?f(x)dx??x?1dx?．

??0k?1?0,其他.XY?，试求： 32（1）Z的数学期望和方差；（2）X与Z的相关系数；（3）问X与Z是否相互独立？

122解：（1）(X,Y)~N(1,3;0,4;?)，E(X)?1，D(X)?9，E(Y)?0，D(Y)?16，

22221．设二维随机变量(X,Y)~N(1,3;0,4;?)，设Z?12?XY??0.5，cov(X,Y)??XYD(X)D(Y)??6,

E(X2)?D(X)?[E(X)]2?10，E(XY)?cov(X,Y)?E(X)E(Y)??6,

XY111?)?E(X)?E(Y)?; 32323XY11XY1D(Z)?D(?)?D(X)?D(Y)?2cov(,)?1?4?cov(X,Y)?33294323E(Z)?E(（2）?XZ?11?cov(X,Z)E(XZ)?E(X)E(Z)33???0,

D(X)D(Z)3?333X2XY111?)?E(X2)?E(XY)?； 其中E(XZ)?E(323232（3）X~N(1,3)，Z~N(,3)，且?XZ?0，所以X与Z相互独立．

13

习题五

1．进行600次伯努利试验，事件A在每次试验中发生的概率为p?2，设Y表示600次试5}． 验中事件A发生的总次数，利用切比雪夫不等式估计概率P{216?Y?264解：E(Y)?np?600?223?240，D(Y)?np(1?p)?600???144， 555D(X)切比雪夫不等式：P{X?E(X)??}?1? 2?P{216?Y?264}?P{Y?240?24}?1?1443?． 24242．若随机变量X1,X2,?,X100相互独立且都服从区间(0,6)上的均匀分布．设Y??Xi?1100i，

}． 利用切比雪夫不等式估计概率P{260?Y?340解：E(Xi)?3，D(Xi)?3，E(Y)?300，D(Y)?300，

P{260?Y?340}?P{Y?300?40}?1?30013?． 240163．利用切比雪夫大数定律证明泊松大数定律：设X1,X2,?,Xn,?为相互独立的随机变量序列，有P{Xn?1}?pn，P{Xn?0}?1?pn，(0?pn?1)，n?1,2,?，则

X1,X2,?,Xn,?服从大数定律．

11?1?证：E(Xi)?pi，D(Xi)?pi(1?pi)?，E(?Xi)??E(Xi)，

4ni?1ni?11?1D(?Xi)?2ni?1n?D(X)?nii?1?1n1， ??244n由切比雪夫不等式，对任给的??0，有

11P{?Xi??E(Xi)??}?1?ni?1ni?1??1n2?D(X)ii?1??2?1?1， 4n?21?1?limP{?Xi??E(Xi)??}?1，故X1,X2,?,Xn,?服从大数定律． n??ni?1ni?14．调整200台仪器的电压，假设调整电压过高的可能性为0.5，试求调整电压过高的仪器台数在95至105台之间的概率．

解：设Y表示调整电压过高的仪器台数，

E(Y)?np?200?0.5?100，D(Y)?np(1?p)?200?0.5?0.5?50，

P{95?Y?105}??(105?10095?10022)??()??()??(?)，

2250502)?1?0.5222． 2?2?(5．某射手每次射击的命中率为p?0.8，现射击100发子弹，各次射击互不影响，求命中

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