乌鲁木齐市2018年中考数学真题(7)

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分两种情况：

（I）若∠PcD=∠cBo时，即Rt△PDc∽Rt△coB， （II）若∠PcD=∠Bco时，即Rt△PDc∽Rt△Boc， 分别求得P的坐标即可．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c， 得：，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（3分） （2）由（1）知c（0，4），∵B（8，0）， 易得直线Bc的解析式为：y=﹣x+4，

①如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交Bc于E， Rt△Boc中，oc=4，oB=8， ∴Bc==4，

在Rt△PDE中，PD=PE?sin∠PED=PE?sin∠ocB=PE， ∴当线段PE最长时，PD的长最大， 设P（t，），则E（t，）， ∴PG=﹣，EG=﹣t+4，

∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t=﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），

当t=4时，PE有最大值是4，此时P（4，6）， ∴PD==，

即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；（7分）

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②∵A（﹣2，0），B（8，0），c（0，4）， ∴oA=2，oB=8，oc=4，

∴Ac2=22+42=20，AB2=（2+8）2=100，Bc2=42+82=80， ∴Ac2+Bc2=AB2， ∴∠AcB=90°， ∴△coA∽△Boc，

当△PDc与△coA相似时，就有△PDc与△Boc相似， ∵相似三角形的对应角相等， ∴∠PcD=∠cBo或∠PcD=∠Bco，

（I）若∠PcD=∠cBo时，即Rt△PDc∽Rt△coB， 此时cP∥oB， ∵c（0，4）， ∴yP=4， ∴）=4，

解得：x1=6，x2=0（舍），

即Rt△PDc∽Rt△coB时，P（6，4）；

（II）若∠PcD=∠Bco时，即Rt△PDc∽Rt△Boc， 如图2，过P作x轴的垂线PG，交直线Bc于F， ∴PF∥oc， ∴∠PFc=∠Bco， ∴∠PcD=∠PFc， ∴Pc=PF，

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设P（n，+n+4），则PF=﹣+2n， 过P作PN⊥y轴于N，

Rt△PNc中，Pc2=PN2+cN2=PF2， ∴n2+（+n+4﹣4）2=（﹣+2n）2， 解得：n=3，

即Rt△PDc∽Rt△Boc时，P（3，）；

综上所述，当△PDc与△coA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3，）．（12分）

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会根据方程解决问题，属于中考压轴题．

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