DVD租赁—全国数学建模大赛(3)

二、问题分析

进行了如下的分析：

Step1: 针对问题一，对于DVD张数的求解，由于会员每月租赁次数不同，我们

将情况分为三种：保证情况：优先考虑占40%每月租赁一次的会员；一般情况：每月租赁一次和每月租赁两次的会员按比例同时考虑；乐观情况：优先考虑占60%每月租赁两次的会员；

Step2: 对上述三种情况进行分析比较，选出符合题意的最优解；

Step3: 针对问题二，我们采用0—1线性规划模型，将会员对DVD的喜爱程度

与是否分配到DVD结合，利用LINGO软件求解得出会员的最大总体满意度，并得出分配方案；

Step4: 针对问题三，为了使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意

度最大时的DVD购买量及分配方案，我们建立0—1线性规划模型和双目标优化模型，并将会员满意度转化为相对满意度，将双目标优化模型转化为单目标优化模型。利用LINGO软件可以得到在不同相对满意度相对应的DVD的最少购买量，通过比较分析，可以得到最优解。

Step5: 针对问题四，我们考虑到每个会员提交订单的时间不同，为了公平起见，

我们遵守先订先得的原则，所以最后的模型要增加一个关于下订单时间约束条件。另外，我们还考虑到每种DVD的价格不同，所以最后的目标函数不是简单的DVD总张数最少，而且还使DVD得总价格最少。由此，建立新的模型。

三、模型假设

1.网站对1000名会员的调查数据足以反映10万名会员的喜好；

2.为简便计算：

a.假设每个月为30天；

b.假设顾客都在每月月初租赁DVD，其中，40%的会员租赁期限为一个月，60%的会员租赁期限为15天；

3.问题二中，分配DVD时，假设所有会员只有一次租赁；

4.问题三中，假设一个月有两次分配，第一次分配时把所有的DVD都租赁出去。第二次用于分配的DVD是第一次还回来的。

四、符号设定

x 需要购买的DVD张数

n 愿意观看DVD 的比例

m 规定时间内需要满足的会员数

cij 第i名会员获得第j张DVD时的偏爱程度

aij 第i名会员获得第j张DVD时的满意度

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