数学必修四期末考试题(6)

（2）是否存在同时符合上述四个性质的函数？若存在，请写出一个这样的函数；若不存在，请说明理由.

20.解析：（1）函数f(x) x sinx符合性质②③.

①f(x 2 ) (x 2 )sin(x 2 ) (x 2 )sinx xsinx 2 sinx f(x 2 )不一定等于f(x)； ②令x

2

此时sinx 1,f(x) 2k ,k Z，

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另k 2k ，，则f(x)

故f(x)没有最大值； ③函数y x和y sinx在(0, 故函数f(x) x sinx在(0,

2

2

)在均为大于0，且都是单调递增.

)上单调递增；

④f(x)的定义域是R，f( x) ( x)sin( x) xsinx f(x) 所以f(x)的图象关于y轴对称. （2）存在同时符合上述四个性质的函数. 例如：函数y tanx;函数y sinx(x k

2

,k Z)等.(答案不唯一)

21. （本题满分14分）（甲题）已知定义在( ,0) (0, )上的奇函数f(x)满足f(1) 0，且在(0, )上是增函数. 又函数g( ) sin mcos 2m(其中0 （1）证明：f(x)在( ,0)上也是增函数；

（2）若m 0，分别求出函数g( )的最大值和最小值；

（3）若记集合M m|恒有g( ) 0 ，N m|恒有f[g( )] 0 ，求M N. 21甲.解析：（1）证明：任取x1 x2 0，则 x1 x2 0

且f(x)在(0, )上是增函数， f( x1) f( x2).又f(x)为奇函数， 故f(x2) f(x1) f( x2) f( x1) 0 即f(x1) f(x2)，f(x)在( ,0)上也是增函数.

（2）由g( ) sin mcos 2m cos mcos 1 2m，

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22

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)

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