西方经济学（微观）课后习题答案详解 - 图文(3)

元和P2=30元，该消费者的效用函数为各应是多少？每年从中获得总效用是多少？

解答：

2U=3X1X2，该消费者每年购买这两种商品的数量

MU1??U2?3X2?X1?UMU2??6X1X2?X2

?MU1MU2??P2把已知条件和MU1，MU2值带入下面均衡条件?P 1?PX?PX?M?11222?3X26X1X2??得方程组：?20 30?20X?30X?540?12解方程得，X1=9，X2=12, U=3X1X 22=3888

6. 假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为QdA＝20－4P和QdB＝30－5P。

(1)列出这两个消费者的需求表和市场需求表。

(2)根据(1)，画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。

解答：(1)由消费者A和B的需求函数可编制消费A和B的需求表。至于市场的需求表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者A、B的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者A和B的需求

d

函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数Qd＝QA＋QdB＝(20－4P)＋(30－5P)＝50－

d

9P， 然后运用所得到的市场需求函数Q＝50－9P来编制市场需求表。按以上方法编制的需求表如下所示。 dP A的需求量QdA的需求量Qd市场需求量QdA B A+ QB 0 20 30 50 1 16 25 41 2 12 20 32 3 8 15 23 4 4 10 14 5 0 5 5 6 0 0 (2)由(1)中的3张需求表，所画出的消费者A和B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3—4所示。

在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格P＝5和需求量Qd＝5的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在P≤5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当P＞5时，只有消费者B的需求曲线发生作用，所以，P＞5时，B的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数

d

看，在P≤5的范围，市场需求函数Qd＝Qd而当A＋QB＝(20－4P)＋(30－5P)＝50－9P成立；P＞5时，只有消费者B的需求函数才构成市场需求函数，即Qd＝30－5P。

市场需求函数是： 0 P＞6 Q = 30－5P 5≤ P≤6 50－9P 0≤ P≤5 市场需求曲线为折线，在折点左，只有B消费者的需求量；在折点右边，是AB两个消费者的需求量。

7.假定某消费者的效用函数为，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。

U?XX381582MU1P11解：根据消费者效用最大化的均衡条件：，其中，由已知的效用函数?MU2P2dTU388dTU588U?XX可得：MU1??X1X2，MU2??X1X2

dX18dX28于是，整理得：

381582?553?33X2P15PX?,即有X2?11 （1） 5X1P23P2以（1）式代入约束条件P1X1?P2X2?M，有，P1X1?P25P1X1?M 3P2解得：X1?3M5M，代入（1）式得X2? 8P18P23M5M，X2?8P18P2

所以，该消费者关于两商品的需求函数为X1?8.令某消费者的收入为M，两商品的价格为P1、P2。假定该消费者的无差异曲线是线

性的，且斜率为-a。求：该消费者的最优商品组合。 解：预算线方程为P1X1?P2X2?M，其斜率为?P1， P2MU1??aMU2

由消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为-a可知：MRS12?该消费者的最优商品组合有以下三种情况，其中第一、二种情况属于边角解。

P1（1）如果a?，如图1，这时，效用最大化的均衡点位于横轴，它表示此时的最优 P2解是一个边角解，预算线和无差异曲线的交点。最优的商品组合X2?0,X1?M， 全部支P1

出都购买横轴代表的商品。该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效

用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平。

P1

（2）如果a?，如图2，这时，效用最大化的均衡点位于纵轴，它表示此时的最优解

P2是一个边角解，预算线和无差异曲线的交点。最优的商品组合 X1?0,X2?

M ， 全部支P2出都购买纵轴代表的商品。该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平。 （3）如果a?P1，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算线上任P2何一点的商品组合。此时所达到的最大效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。

0.5U?q?3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。9.假定某消费者的效用函数为

求： （1）该消费者的需求函数；

（2）该消费者的反需求函数；

p?（3）当

1,q?412时的消费者剩余。

?U?U?0.5q?0.5，货币的边际效用为???3 ?q?M解：（1）商品的边际效用为MU?MU0.5q?0.51????3，则，q?为实现消费者均衡，，即消费者的需求函数 pp36p2（2）根据需求函数q?11p?，可得反需求函数

36p26q（3）消费者剩余CS??4012111114???? dq??4?q2 033331236q1??U?xy，商品x和商品y

10. 设某消费者的效用函数为柯布—道格拉斯类型的，即

的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，?和?为常数，且????1。

（1）求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。

（2）证明当商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求量维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数?和?分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。

?U??x??1y??x??解：（1）由消费者的效用函数U?xy，算得：

?U???1MUy???xy?yMUx?消费者的预算约束方程为PXx?Pyy?M

?MUxPX?MUy?P根据消费者效用最大化的均衡条件?，代入已知条件，解方程组得：y?Px?Py?My?x??Pxx/M，??Pyy/M，即分别为消费者关于商品x和商品y的需求函数。

（2）商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为?Pxx??Pyy??M，其中?为一非零常数。

?MUxPX?MUy?P此时消费者效用最大化的均衡条件为?，由于??0，故该方程组化为y??Px??Py??My?x?MUxPX?MUy?P，显然，当商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，y??Px?Py?My?x消费者对两商品的需求关系维持不变。

（3）由消费者的需求函数可得：??Pxx/M，??Pyy/M，式中参数?为商品x的消费支出占消费者收入的份额和参数?为商品y的消费支出占消费者收入的份额。

11．假定肉肠和面包是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为比率做一个热狗，并且已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。

（1）求肉肠的需求的价格弹性。

（2）求面包卷对肉肠的需求的交叉弹性。

（3）如果肉肠的价格是面包卷的价格的两倍，那么肉肠的需求的价格弹性和面包卷对肉肠的需求的交叉弹性各是多少？

（1）令肉肠的需求为X，面包卷的需求为Y，相应的价格为Px、PY ，且有Px=PY 该题目的效用论最大化问题可以写为： maxU(X，Y)=min(X，Y) s.t.PxX+PYY=M 解上述方程有：X=Y=

MMM?1==PXPX?PY2PX2

由此可得肉肠的需求的价格弹性为： edx=-

PX?XPXM???（??PX?2?）?1

M?1?PXX2PX2PM?YPX（??PX?2?X）?1 ??? (2)面包对肉肠的需求交叉弹性为：exy=

M2?XYPX?12 (3) maxU(X，Y)=min(X，Y) s.t.PxX+PYY=M

如果Px=2PY,X=Y, 解上述方程有：X=Y=

M2M2M?1==PX

PX?PY3PX3PX2M?PX?2?）?1

2M?13PX3PX2M?YPX???（??PX?2?）?1 面包对肉肠的需求交叉弹性为：eyx=

2M?PXY3PX?13（?可得肉肠的需求价格弹性为：edx=?12.已知某消费者的效用函数为U＝X1X2，两商品的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费

者的收入是M＝80。现在假定商品1的价格下降为P1＝2。求：

(1)由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

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