2017年山东省泰安市中考数学试卷（含解析）(7)

（2）设大樱桃的售价为a元/千克，

（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%， 解得：a≥41.6，

答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出总费用是解题关键．

27．（10分）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD． （1）证明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC； （2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．

【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD，

∴∠ACD+∠BDC=90°， ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠ADC+∠BDC=90°， ∵PD⊥AD，

∴∠ADC+∠PDC=90°，

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∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：过点C作CM⊥PD于点M， ∵∠BDC=∠PDC， ∴CE=CM，

∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P， ∴△CPM∽△APD， ∴

=

，

设CM=CE=x， ∵CE：CP=2：3， ∴PC=x， ∵AB=AD=AC=1，

∴=，

解得：x=， 故AE=1﹣=．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．

28．（11分）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，

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与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；

（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；

（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解； （3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k． 把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k， 解得k=4，

则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3． ∵B的坐标是（3，0）， ∴OB=3，

∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形． ∴∠OCB=45°，

过点N作NH⊥y轴，垂足是H． ∵∠NCB=90°，

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∴∠NCH=45°， ∴NH=CH，

∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH， 设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）． ∴a+3=﹣a2+2a+3， 解得a=0（舍去）或a=1， ∴N的坐标是（1，4）；

（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA， 设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+， 整理，得2t2﹣t=0， 解得t=0或． ∴﹣t2+2t+3的值为3或

．

）、（，

）．

∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键．

29．（11分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点． （1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；

（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．

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【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形； （3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：在?ABCD中， ∵AD=AC，AD⊥AC， ∴AC=BC，AC⊥BC， 连接CE，

∵E是AB的中点， ∴AE=EC，CE⊥AB， ∴∠ACE=∠BCE=45°， ∴∠ECF=∠EAD=135°， ∵ED⊥EF，

∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED， 在△CEF和△AED中，∴△CEF≌△AED， ∴ED=EF；

（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD， ∵AD=AC， ∴AC=CF， ∵DP∥AB，

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