2017年山东省泰安市中考数学试卷（含解析）(4)

故选B．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．

15．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x y ﹣1 ﹣3 0 1 1 3 3 1 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=

=，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的

开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题． 【解答】解：由表格可知，

二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x=∴抛物线的开口向下，故①正确， 其图象的对称轴是直线x=，故②错误， 当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，

方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于于3+1=4，故④错误， 故选B．

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=时，取得最大值，

=3，小

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．

16．（3分）某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：

金额/元 人数 5 4 10 16 20 15 50 9 100 6 则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（ ） A．10，20.6

B．20，20.6

C．10，30.6

D．20，30.6

【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可． 【解答】解：共有50个数，

∴中位数是第25、26个数的平均数， ∴中位数是（20+20）÷2=20； 平均数=

（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=30.6；

故选：D．

【点评】此题考查了中位数与平均数公式；熟记平均数公式，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．

17．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（ ）

A．20° B．35° C．40° D．55°

【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形

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的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数． 【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O， ∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°， ∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M， ∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°， ∵∠ADC=∠AMC+∠DCM， ∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，

∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°； 故选：A．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．

18．（3分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（ ）

A．30° B．60° C．90° D．120°

【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小． 【解答】解：如图：

显然，旋转角为90°， 故选C．

【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．

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19．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论： ①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC． 其中正确结论的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案． 【解答】证明：∵BC=EC， ∴∠CEB=∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CEB=∠EBF， ∴∠CBE=∠EBF，

∴①BE平分∠CBF，正确； ∵BC=EC，CF⊥BE， ∴∠ECF=∠BCF，

∴②CF平分∠DCB，正确； ∵DC∥AB， ∴∠DCF=∠CFB， ∵∠ECF=∠BCF， ∴∠CFB=∠BCF， ∴BF=BC， ∴③正确；

∵FB=BC，CF⊥BE，

∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，

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∴PF=PC，故④正确． 故选：D．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．

20．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）

A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2

【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm， ∴AC=

=6cm．

设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm， ∴S

四边形

PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=

AC?BC﹣PC?CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣

6t+24=（t﹣3）2+15，

∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15． 故选C．

【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ=t2﹣6t+24是解题的关键．

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