大学物理习题集(7)

t??????p2?p?p0??Fdt??p1,

0????同理， ?v2??v1,I2?I1

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

I??(10?2t)dt?10t?t2

0t亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)

12 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为?

2???r?acos?ti?bsin?tj

求质点的动量及t＝0 到t?解: 质点的动量为

??时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量． 2?????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)

将t?0和t??分别代入上式，得 2?????p1?m?bj,p2??m?ai ,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)

证毕．

????????13 设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作的

功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．

解: (1)由题知，F合为恒力，

????????∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)

??21?24??45J (2) P?A45??75w ?t0.6(3)由动能定理，?Ek?A??45J

14 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题14图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比．?

解: 弹簧A、B及重物C受力如题14图所示平衡时，有

题14图

FA?FB?Mg

又 FA?k1?x1

FB?k2?x2

所以静止时两弹簧伸长量之比为

?x1k2?x? 2k1弹性势能之比为

E12pk1?21?x1kEp21?2k 12k22?x215 如题15图所示，一物体质量为2kg，以初速度v-1

0＝3m·s从斜面

A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后

停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

?frs?12kx2???12??2mv?mgssin37??? 1mv2?mgssin37??fk?2rs1 22kx

式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得

k?1390N?m-1

再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?

1?frs??mgs?sin37o?kx2

2代入有关数据，得 s??1.4m, 则木块弹回高度

h??s?sin37o?0.84m

16 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题16图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

121mv?MV2 22又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有

mv?MV?0

mgR?联立，以上两式，得

v?2MgR

?m?M????17 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为

???r?x1i?y1j

作用在质点上的力为

??f??fi

所以，质点对原点的角动量为

???L0?r?mv

?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj)

??(x1mvy?y1mvx)k

作用在质点上的力的力矩为

???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk

18 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75×10m 时的速率是v1＝5.46×10?m·s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×10m·s?这时它离太阳的

距离r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)?

解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 r1mv1?r2mv2

4

-1

2

-1

10

r1v18.75?1010?5.46?10412??5.26?10m ∴ r2?2v29.08?1019 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im, v?i?6jm?s??????1，如一恒力f?5jN作用在物

??体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化．

??3?? 解: (1) ?p??fdt??5jdt?15jkg?m?s?1

0(2)解(一) x?x0?v0xt?4?3?7

115y?v0yt?at2?6?3???32?25.5j

223?????即 r1?4i,r2?7i?25.5j

vx?v0x?1

5vy?v0y?at?6??3?11

3??????即 v1?i1?6j,v2?i?11j ???????∴ L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k

????????L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k

∴ ?L?L2?L1?82.5kkg?m?s 解(二) ∵M?????2?1dz dt00??t?t?∴ ?L??M?dt??(r?F)dt

?3?15??????(4?t)i?(6t?)?t2)j??5jdt023??

??3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?10

20 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡．今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题20图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少?? 解: 在只挂重物时M1，小球作圆周运动的向心力为M1g，即

M1g?mr0?0挂上M2后，则有

2

①

(M1?M2)g?mr???2

②

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 r0mv0?r?mv?

?r02?0?r?2?? ③

联立①、②、③得

?0????r??M1gmr0M1gM1?M23()mr0M12

M1?M2g?m??M1?r0M1?M2

21 计算题21图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m1＝50?kg，m2＝200 kg,M＝15 kg, r＝0.1 m

解: 分别以m1,m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m1,m2运用牛顿定律，有

m2g?T2?m2a ① T1?m1a ②

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