大学物理习题集(6)

两边积分得

12v?2x?2x3?c 2由题知，x?0时，v0?10,∴c?50

∴ v?2x?x?25m?s

3 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s，开始运动时，x＝5 m，?v =0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置． 解：∵ a??23?1dv?4?3t dt分离变量，得 dv?(4?3t)dt 积分，得 3v?4t?t2?c1

2由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0

32t 2dx3又因为 v??4t?t2

dt232分离变量， dx?(4t?t)dt

2132积分得 x?2t?t?c2

2故 v?4t?由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5 故 x?2t?所以t?10s时

213t?5 2v10?4?10?3?102?190m?s?12 1x10?2?102??103?5?705m234 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s?时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解： ??d?d??9t2,???18t dtdt

(1)t?2s时， a??R??1?18?2?36m?s

?2

an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2

(2)当加速度方向与半径成45角时，有

οtan45??2a??1 an即 R??R? 亦即 (9t)?18t 则解得 t?于是角位移为

3222 9??2?3t3?2?3?5 质点沿半径为R的圆周按s＝v0t?2?2.679rad

12bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧2长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b． 解：（1） v?ds?v0?bt dtdv??bdt 22(v?bt)van??0RRa??(v0?bt)4则 a?a??a?b? 2R22n2加速度与半径的夹角为

??arctan(2)由题意应有

a??Rb? 2an(v0?bt)(v0?bt)4a?b?b?

R22(v0?bt)44,?(v?bt)?0 即 b?b?02R22

∴当t?

v0时，a?b b6 以初速度v0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

?1

解：设小球所作抛物线轨道如题6图所示．

题6图

(1)在最高点，

v1?vx?v0cos60o an1?g?10m?s?2

又∵ an1?v12?1

v12(20?cos60?)2?1??an110∴

?10m(2)在落地点，

v2?v0?20m?s?1,

而 an2?g?cos60

2v2(20)2??80m ∴ ?2?an210?cos60?o7 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为?β= 0.2 rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．? 解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s

?1?2

则v?R??0.4?0.4?0.16m?s

?1an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2

a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2

2a?an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2

8 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，fy＝-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m·s，vy＝0．求

-1

当t＝2 s?时质点的 (1)位矢；(2)速度．? 解： ax?fx63??m?s?2 m168fym??7m?s?2 16ay?(1)

235vx?vx0??axdt??2??2??m?s?1084

2?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168于是质点在2s时的速度

5?7??v??i?j48(2)

m?s?1

?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j

2821613?7???i?jm489一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速v0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．

解: 依题意作出示意图如题9图

?

题9图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为

o????p?mv?mv0

由矢量图知，动量增量大小为mv0，方向竖直向下．

10 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1?gt?0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量

?????p?mv2?mv1方向竖直向上，

大小 ?p?mv2?(?mv1)?mg

碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．

??11 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，(1)求4s后，这

物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度?6jm·s的物体,回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则

?-1

??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?si,沿x轴正向，

00????p1?v1??5.6m?s?1i m???I1??p1?56kg?m?s?1i若物体原来具有?6m?s初速，则

?1?t?F?????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt于是

0m0t

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