山东省烟台市2013年中考数学真题试题（解析版）(4)

将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，解方程时要注意检验． 24．（2013?烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE=EF?EB． （1）求证：CB=CF；

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

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考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）如图1，通过相似三角形（△AEF∽△AEB）的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论； （2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO=解答： （1）证明：如图1， 2∵AE=EF?EB， ∴=． =，则以求r的值． 又∠AEF=∠AEB， ∴△AEF∽△AEB， ∴∠1=∠EAB． ∵∠1=∠2，∠3=∠EAB， ∴∠2=∠3， ∴CB=CF； （2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r． 由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5． ∴=． ∴OE⊥AD， ∴EG=1． ∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°， ∴sin∠GAO=， ∴=，即=， 16

解得，r=，即⊙O的半径是． 点评： 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质．解答（2）题的难点是推知点E是弧AD的中点． 25．（10分）（2013?烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系式 QE=QF ；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析： （1）证△BFQ≌△AEQ即可； （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 解答： 解：（1）AE∥BF，QE=QF， 理由是：如图1，∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ， 在△BFQ和△AEQ中 17

∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE=QF， 故答案为：AE∥BF，QE=QF． （2）QE=QF， 证明：如图2，延长FQ交AE于D， ∵AE∥BF， ∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中 ∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF=QD， ∵AE⊥CP， ∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD， 即QE=QF． （3）（2）中的结论仍然成立， 证明：如图3， 延长EQ、FB交于D， ∵AE∥BF， ∴∠1=∠D， 在△AQE和△BQD中 ， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP， ∴FQ是斜边DE上的中线， ∴QE=QF． 18

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 26．（2013?烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函

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数y=ax+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D． （1）求二次函数的解析式；

（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值； （2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到=，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论； （3）利用待定系数法求得直线BE为：y=x+．则易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=t，DN=t﹣1．所以 19

S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t（0＜t＜2）．由抛物线的性质可以求得S的最值． 解答： 解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣，0）， 则， 解得，， ∴该二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）如图，过点D作DG⊥BE于点G． 由题意，得 ED=+1=，EC=2+=，BC=2， ∴BE==． ∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°， ∴△EGD∽△ECB， ∴=， ∴DG=1． ∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE， ∴BE是⊙D的切线； （3）由题意，得 E（﹣，0），B（2，2）． 设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则 ， 解得，， ∴直线BE为：y=x+． ∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1， ∴点P的纵坐标y=，即P（1，）． ∵MN∥BE， ∴∠MNC=∠BEC． ∵∠C=∠C=90°， 20

∴△MNC∽△BEC， ∴∴=， =，则CN=t， ∴DN=t﹣1， ∴S△PND=DN?PD=（t﹣1）?=t﹣． 2S△MNC=CN?CM=×t?t=t． S梯形PDCM=（PD+CM）?CD=?（+t）?1=+t． ∵S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣∵抛物线S=﹣+t（0＜t＜2）． +t（0＜t＜2）的开口方向向下， ∴S存在最大值．当t=1时，S最大=． 点评： 本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法．注意配方法在（3）题中的应用．

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