复变函数论习题集解答(6)

???02xlnx(1?x)2dx????0??2?xi2?(1?x)dx?2???i

2????0xlnx(1?x)2dx??

第七章

一．1．Ａ 2．Ｃ 3．Ｄ 4．Ｂ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｃ 9．Ａ 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ 13．Ｄ 14．Ｂ 15．Ｄ

二．１．ＡＢＣＤ ２．ＢＣＤＥ ３．ＡＢＥ ４．ＡＢ ５．ＡＢＣ 三．１．解析且不恒为常数，一个区域 ２．的一个邻域内单叶解析． ３．argf'?z0?,|f'?z0?|

４．处处都是保角的． ５．是单叶且保角的． ６．在z??dc处定义w??，在z??处定义w?ac；在z??处定义w??

７．它们在反演变换下的象曲线在原点处 ８．

w?w1w?w2:w3?w1w3?w2?z?z1z?z2:z3?z1z3?z2

2９．z1，z2都在过圆心a的同一条射线上，|z1?a||z2?a|?R，

圆心a与点?也是关于r对称的．

１０．?1?保形性?2?保交比性?3?保圆周（圆）性?4?保对称点性 四．１．解：依题意，得

w?1?1?1z?1?i?1:?: w?1z?i?i?i1?1w?z?1z?ii?1?4i

1w?1?4i?z?1??i?1??z?i???1?3i?z??1?3i?

?i?1??z?i?故w??i?1??z?i?

?1?3i?z??1?3i?z?iz?i２．解，根据线性变换的饿保对称点性知i关于实轴的对称点?i应该变到w?0关于单位圆周的对称点w??，故可设w?k'，

i?2?z?i???z?i?2i|?k?又由L?i??kz?i22?z?i??z?i?因此，所求的线性变换为w?L?z??z?1iz?1z?i|z?i?k?0

３．解：设w?k2，再由L1??1得k?2

??z?2于是所求的线性变换为w?z?z?2z?1z?2

五．解：１．?1???33，?2???e?i?，?3?w??3

3? ??3?3?z?故意所求的线性变换为w????z??图

２．解：?1?z1?z?a 故w?a??2?z2?z1

2?3?z3?z2?h

2?4?z4?z3

?5?w?z4?a

?z?a?22?h ３，证明：由于f(z)?u?iv在区域单叶解析，根据数学分析中的面积公式知

uxvxuyvy?G???dudv???dxdy??D??D????uxvy?vxuy?dxdy

222根据C?R条件知uxvy?vxuy??ux???vx??f故A?'?z?

?D????f'?z?2dxdy

?4４．解：?1???ew，此变换将半平面v?u变换为上半平面，

点?4?22?i?1?,0?0

2圆心4i?0，点2i??i．

?2???z?4i，此变换将圆z?4i?2变换为圆??1，

?3?????22?i?1???22?i?1?此变换将上半?平面变换为单位圆??1

点22?i?1??0,其关于实轴的对称点22?i?1???，0??i

??4故所求的线性变换为：

z?4i2?ew?22?i?1??

e4w?22?i?1?z?2iz?2?1?2i?整理得：w?4iz?8?z?2?4iizz?2??4i

12５．解：?1???，此变换将圆z?2变换为直线Im??，

将z?1?1变换为直线Im??0

?2???2??，此变换分别将圆Im??2?izz?212和Im??0变换为Im???和Im??0

故所求的线性变换为w?e

第八章 第九章

一．１．Ｃ ２．Ｂ ３ Ａ． ４．Ｂ ５．Ｄ 二．１．ＡＣ ２．ＡＢ

三．１．D1?D2?d12为一区域，f1(z)?f2(z)?z?d12? ２．每一个解析元素是前一个解析元素的直接解吸开拓． ３．f(z)一切解析元素的一切奇点所组成． ４．u?z0??12??2?0u?z0?Rei??d?

５．不恒等于常数，D的内点处不能达到最大值或最小值．

?四．１．证明：f(z)????n?1??z?1?在区域

n?0nnz?1?1解析，

由于?1z?11??z?1????z?1??n?0z?1?1?，

从而

1z2??n?0n?z?1?1z2n?1????n?1??z?1?n?0n?f(z)

故在z?1?1内与f(z)恒等，故

1z2是f(z)由z?1?1向外的饿解析开拓

２．证明：f1(z)在D1：z?1内解析，f2(z)在D2：

?1?i?z1?z?1，

即D2：z?1?2内解析，

而当z?D1?D2时

?f1(z)????1?n?0niznn?11?izn

??1?i?z??? 1?z????n?f2(z)?11?z???1?n?0n?1?i?zn?1?1?z??1n?11?z????1?n?0n?11??1?i?z?1?z??1?iz?

故f1(z)与f2(z)互为直接解析开拓

?３．证明：f(z)??n?01nnz在z?1内收敛．

?g(z)?i?????1?n?0n?1n1nn?z?2?在

z?2?1内收敛．

??又f(z)?'??z?n?1???z?n?0n?1n?11?z

?g(z)?'?n?1??1?n??z?2???n?0??1?n?1?z?2???n11??z?2??111?z

因此，在z?1内f'(z)?g'(z)，于是f(z)与g(z)可看作ln开式，故f(z)与g(z)可以互为解析开拓． ４．由于z?1为f(z)的奇点

2?p1?z在z?0和z?2处的展

设z?re令f(z)?q，p,q为正整数

q?1?n?1?zn?1??zn?qn!?f1(z)?f2(z)

由于f1(z)为多项式，故limf1?z?存在，而当n?q时．

r?1qn!?，从而z?r，于是f2(z)?n!n!?rn?qn!．

2?p因此，当r?1时，f2(z)??，故limf?z???，亦即z?1上的点er?1qi为f(z)的奇

2?p点，又由于点eqi在z?1上处处稠密所以f(z)沿半径不能越过单位圆做解析开拓，因而

f(z)以z?1为自然边界．

５．证明：由于u?z?在z平面上有界调和，，因而存在u的共轭调和函数v使得f?u?iv在

z平面上解析，从而G?z??ef(z)亦在z平面上有界．此即说明G?z?为有界整函数．根据

刘维尔定理知G?z?为常数．面上解析，?R?0，在z?R上，G?z??ef(z)?eu?eM（M为u?z?的上因而，f(z)为常数，故u?z?亦为常数．

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