复变函数论习题集解答(3)

0??2?0ied?i?ei???2?2?0(icos??sin?)[(cos??2)?isin?](cos??2)?sin?d?

?022d?

=?2?0?2sin??i(1?2cos?)5?4cos?2?0于是?1?2cos?5?4cos?d??0,故?1?2cos?5?4cos?d??0

2．证明：设

f(z)?u?iv?4f?(z)2?4(ux?vy)

222f(z)=u?v，

2222?f(z)?x?2uuy?2vvx

?2f(z)?x2?2ux?2uux?2vx?2vvx

222222同理可得：

?f(z)?y2?2u2y?2uu2y22?2vy?2vvy

于是结合C?R条件及u,v为调和函数可得： ?22(?x??22?y)f(z)2?4(ux?vx)?2u(ux?uy)?2v(vx?vy)

222222222=4（ux?vx）=4f?(z)

3．证明：?f(z)在|z|?1上连续，?f(z)在|z|?1一致连续，因此???0，???0，

i?i?使当1???r?1时均有|f(e)?f(re)|??2?,(0???2?)

于是：|?=|??2?0|z|?1i?f(z)dz|?|?i?|z|?12?0f(z)dz?i?1?ri?|z|?rf(z)dz|

f(e)ied??i?1ri??f(re)ried?|

?2?0|f(e)?f(re)|d???

f(z)dz?0

i???|z|?14．解：设z?e，

dz1?(z)2c21为0到1的直线段，c2为1到z的圆弧，则由柯西积分定理 ??C??c1?(z1dz)?cdz21?(z)2=?10dx1?x2???0iei?2i?1?ed?

=RE?dzC1?z2??4

5．解：由??v?(x?y)(x2?4xy?y2)?2(x?y),得 ?x?vx?(x?4xy?y)?(x?y)(2x?4y)?2

22=3x2?3y2?6xy?2

两式相加并结合C?R条件得： ?x?3x?3y?2

22从而??x3?3y2x?2x,v??y3?3x2y?2y 故 f?x3?3y2x?2x?(i32x?y

3y?2 )y第四章

一、1C 2A 3D 4B 5C 6D 7D 8C 9B 10A 11D 12D 13C 14A 15B

二、1AB 2BCD 3AE 4ACD 5BC 三、1．|z?a|?|z1?a|,绝对收敛且内闭一致 2．（1）在区域D内解析，

（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z) （1） 在区域D内解析

?（2） f(p)(z)??n?1f(p)(z),(z?D,p?1,2,...,)

3．f(z) 在D内任一点a的领域内可展成z?a的幂级数。 4．

?2?iΓ1f(?)?(??a)d??n?1f(n)(a)n!,Γ?:|??a|??,0???R,n?0,1,...

且展开式是唯一的。

?5．2k?i??(?1)n?1n?1znn,(|z|?1,k?0,?1,?2,...,)

6．（1）C（2）n?1?Cn?2(n?2),1

5?125?125?125?12，|z|?m,z?,?

7．f(z)?(z?a)?(z),?(z)在|z?a|?R内解析，且?(a)?0 8．一个收敛于a?D的点列?zn?(zn?a) 9．D内任何点都不能达到，恒等于常数。 10．

1?i2(1?i2?z??n?2(2n?3)!!nniz),|z|?1

(2n)!!!?2(n)四、1解：?f(z)?(1?z),f?(0)?(n?1)!

从而f(z)??(n?1)zn?on,(|z|?1)

2．解：sinz?sin[(z?1)?1]?sin(z?1)cos1?cos(z?1)sin1

?=cos1?n?0?(?1)n?(2n?1)!k?2(z?1)2n?1?sin?n?0(?1)n(2n)!(z?1)

2=?k?01k!sin(k?1)(z?1),|z?1|???

?3．解：令g(w)??wn?1n(w?z)

2?则g(w)的收敛半径为1，从而?(z2)n的收敛半径亦为1

n?14．解?cosz?1的零点为z?0,z?2k?,k??1,?2,...

?而在z?0点cosz?1??(?1)n?1nz2n(2n)!,因而z?0为f(z)的4级零点，

z?2k?，f(z)(k??1,?2,...)均为f(z)的二级零点，

i?5．解：在闭圆|z?z0|?1上有z?z0?e(0???2?)

从而|ez|?|ez0?e|?|er0ei?i?0?ei?|

=|(r0cos?0?cos?)?i(r0sin?0?sin?)|

1?[(r0?1)?2r0(cos?0cos??sin?0sin?)]2

12?[(r0?1)?2r0cos(?0??)]2

2故ez在闭圆|z?z0|?1上的最大值为

1[(r0?1)?2r0]2=r0?1?1?|z0|

2五．

1． 证明：由柯西不等式|an|?M,当|z|??时，

?n?|f(z)?a0|??|an||z|?Mn?1|z|??|z|,

因此|f(z)|?|f(z)?a0?a0|?|a0|?|f(z)?a0|

|a0|?|a0|?M|z|??|z|?|a0|?M|a0|?M?

??|a0||a0|?M?=|a0|-|a0|=0 故f(z)在|z|?12?i?|a0|?|a0|?M上无零点

22． 证明：?=

12??2?0f(re)d?

i?i??2?0f(re)?f(re)d?

??nin?=

12??2?0(?anren?0)?(?anren?0n?in?)d?

对任意自然数m,k若m?k，则

?2?0eik??e?im?d?

1i(k?m)?=?2?0ei(k?m)?d??e(k?m)i2|2?0?0

因此，根据逐项可积公式即得：

12??|f(re)|d?02?i??12??|an|r02?22n?d???|an|rin?022n

3． 证明：?在0?|z|?1内任意一点z，e?1?z ?zn!?n?1n?|e?1|?|z|?z|z|22|z|?121?31173?|z|(1??)?|z| |z|2443z3另一方面：|e?1|?|z?zz22|?1|z||z|13?|z|???|z|

|z|22441?34． 证明：取r?R,则对一切正整数k?n时，

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