复变函数论习题集解答(4)

|f(k)(0)|?k!2??|z|?r|f(z)zk?1||dz|?k!Mrrkn

(k)于是由r的任意性知对一切k?n均有fn(0)=0

故f(z)??cznk?0n,即f(z)是一个至多n次的多项式或常数

5． 解：?e?1?z?zz232?4z63?5z424?z5120?...

ln(1?z)?z?z22?z3?2z4?3z5?...

45345?eln(1?z)?(z?34zz2?z3?4z4?5z5)?(z?52z2?z32?z43)?

53z?... ? (z?z?z)?(z?z)?z?...?z?z?z?246612242340

5第五章

一、1D 2B 3D 4D 5C 6C 7D 8B 9B 10D 11B 12 B 13A 14B 15C

二、1ABCDE 2AC 3ABCD 4ABCDE 5ABC 三、1．r?|z?a|?R,r?0,R??? 1f(?)(??a)n?1?2?iΓd? (n?0?,1,. ..圆周|??a|?? (r???R) 2．（1）f(z)在点a的主要部分为零 （2）limf(z)?b (??)

z?a（3）f(z)在点a的某去心领域内有界 3．点a的充分小去心领域内不为零，本性奇点

4．不论A有限还是无穷，都有一个收敛于a的点列{zn}

m5．（1）f(z)在z??的主要部分为b1z?...?bmz (bm?0)

（2）f(z)在z??的某去心领域N????内能表成f(z)?zm?(z) 其中?(z)在z??的领域N内解析，且?(?)?0

（3）limf(z)不存在，（即当z??时，f(z)没有有限或无穷的极限）

z??6．（1）f(z)为常数

（2）f(z)是一个m次多项式

?（3） 展式?cnzn(0?|z|???)中有无穷多个cn?0

n?07．f(z)在扩充复平面上除极点外没有其它类型的奇点 8．m?n级零点，n?m级极点，可去奇点 9．

22(1?i),22(i?1)三级极点，?，6级极点

10．2k?i(k?0,?1,...) 一级极点，?，非孤立奇点

四、1．解：

z?2k?12tgzz?sinzzcosz,故在z?0为可去奇点，

?(k?0,?1,..)

为一级极点，z??为非孤立奇点 2．解：f(z)?1(z?1)(z?2)1z?112(1?z2)?1z?1??1z?2

（1）f(z)????n?0(?1)z?nn1nzn(?1)() ?2n?02??=?(?1)n(1?n?012n?1n)z

（2）f(z)?1z?11Z?12?1z2

1??1??=?(?1)n?0n1zn?1??(?1)n?0nz2nn?1

（3）f(z)?11?z?11?(z?1)11??n?0(?1)(z?1)nn?1

?（4）f(z)?????(z?2)z?2(z?2)?1n?0n?1

（5）f(z)?1z[11??1z?11?2z]

?=?(?1)n?0?n1zn?1??(?1)n?0n2znn?1

=?(?1)n(1?2n)n?01zn?1

3．解：f(z)?1zz256ez21?z??z2z?...?z?z3znn!?...z(1?z)2

=?1??z...

4．解：f(z)?1z?2?2z2?1??112?212

1?zz21?1z2?=?1(z?)n2?2??(?1)n2n?2 n?0n?0z5．解：f(z)?z?1?ezz(ez?1) 奇点为z?0为一级极点，

z?2k?i(k??1,?2,...)为一级极点，z??为非孤立奇点

五、1．证明：

（必要性）若f(z)为单叶整函数，由于整函数分为三类 ①f为常数，与单叶性矛盾

?②f为超越整函数，f(z)??cznn(0?|z|???)

n?0它仅有z??为本性奇点，由picard大定理，

?A??,除一个值A?A0外，均?{zn},zn??使得f(zn)?A(n?1,2,..)

此亦与单叶性矛盾。

③f为一多项式，f(z)?c?cz?...?cm0mz(cm?0),由代数基本

定理，?A??,f(z)?A必有且只有m个根，再由f(z)单叶知必有m?1，f(z)?az?b(a?0 )为整函数且?A??,f(z)?A,有且只有一个根，故f(z)为单叶整函数 2．证明：（必要性）由于f(z)在扩充z平面上只有一个一级极点， 当z??为极点时，f(z)?az?b

当zA0??为极点时，f(z)?z?z?B(A?0)

0=

Bz?(A?Bz0)z?z

0?Bz0?(A?Bz0)??A?0

故

（充分性） 若f(z)?az?bcz?d,ad?bc?0

dc因而a,c不同时为0，①c?0，f(z)只有一个一级极点z??②c?0，则a?0且d?0，f(z)只有一个一级极点z?? 3．解：①当m?n时，a为f(z)?g(z)的max(m,n)级极点，为

fg

f,g的m?n级极点，为的m?n(m?n)级极点与n?m(m?n)级零点

②当m?n时，a为f?g的至多m级极点（此时各种情况均有可能产生）

1(z?a)m例：f??z,g?k?1(z?a)m?z(k?N)

k?a 为f,g的m?n级极点，为

fg的可去奇点

4．解：令??1z21?，则e1?z?e??1?e???(1???22?...)

=?(1????23??33!??444!??55!...)(1???52?24...)

(1??22...)(1??3!...)(1?4?4!5)...

=1???1z?2??3?3?111?8??4?5?4...

=1??12z211183z3z45z5?...

5．证明：?limf(z)?z??c0??

????0,?R?0,当|z|?R时均有|f(z)?c0|??

选取充分大的r?R,使得C在|?|?r内部

1f(?)由于|?2?i?||?r??zd??c0|

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