复变函数论习题集解答(2)

?e1?i?e2?i?1?i?

?1??i?s?in1??e??2?e?1 ?cos?1?e?2?e

4、证明：?f?z??3?1?z?z2可能的支点为0，1，?

由于 3|1f?z?的支点为z?0,1，因此在将z平面沿实轴?，故2从0到期割开后，就可保证变点z不会单绕0或者说转一周，于是在这样割开后的z平面上f?z?就可以分出三个单值解析分支。

另由已知 argf?z??π得 f?i??31?iii62πiei?cargf?e?z

??2e ??62e ??2e6??ar?g?z1???cc3?2za?rg?i?3π?π?2???3?4?27π12

i

sinzcosz?1?2i?e?e15iz?iz5、解：设z?x?iy,由tgz?1?2i得

?e2iz??i?2??e?eiz?iz?

??1525?i5?eln54?2ycos2x??25，sin2x?1??arctg2?

?e?4y?,y?且tg2x??,x?21??1???π????2???z?1??arctg2??ln5?1???πi ????24???五、1、证明：设f?u?iv,g?if?p?iQ则f?u?iv,g?v?iu,由 f?z?在D内解析知ux?vy,uy??vx，从而

py?vy?ux?? px?vx??uy?Q Qx,v 因而g?z?亦D内解析

2、证明：设f?z??u?iv.则f?z??u?iv，由f?z?与f?z?均在D内解析知（1）ux?vy,uy??vx,（2）ux??vy,uy?vx,

结合此两式得ux?uy?vx?vy?0，故u,v均为常数 3．证明：由f?z??z1?z22得f?z??'1?z22?1?z?2，从而于是f?z?在D必常

数 z?ff'?z??z??1?z1?z22??1?z??1?z2?1?z??1?z242??1?z??2Iz?i ?1?z?Rez42m42'?1?zf?z???Re?z???42??fz??1?z?2Rez??

由于z?1，因此1?z?0,且

1?z44?2Rez?1?z24?2z2?1?z?2?2?0

'?f?z??故Re?z??0 ???f?z???4、证明：设z?x?yi?reiθ,则x?rcosθ,y?rsinθ, 从而ur?uxcosθ?uysinθ,uθ??uxrsinθ?uyrcosθ

vr?uxcosθ?vysinθ,vθ??vxrsinθ?vyrcosθ,

再由ur?1rvθ,vr??1ruθ，可得ux?vy,uy??vx，因此可推得f?z?在点z可微且

11rr1??r f'?z??ux?iuy??rcosθur?sinθuθ??i?rsinθur?cosθuθ?s?isθin ??coθ?ur

θsin?iθ?cousθ

s?isθin ??coθ?ur??θsi?niθ?cvo srs?isθin ??coθ??ur?ivr?

?1coθs?isθin?ur?iv?r?rz?ur?i?rv

?x3?y3?5．证明：u?x,y???x2?y2?0??x,y???0,0?

?x,y???0,0??x3?y3? v?x,y???x2?y2?0??x,y???0,0?

?x,y???0,0?u??x,0??u?0,0??x?lim?x?x?1

于是ux?0,0??lim 从而在原点

?f?f?z'?x?0?x?0f?z?满足C?R条件，但在原点，

?z??ivx???u?i?v???ux?0,??0?z??

0,0 ??1?i????x??33???y????1?i??z????x?3???y?3??z??

当?z沿?y??x?0时

?f?f?z'z?????1??i2??x?2 故f?z?在原点不可微

6、证明：?f?z??z?1?z?的可能支点为z?0,1,?由 知f?z?的支点

为z?0,1,于是在割去线段0?Re?1的平面上变点就不可能性单绕0或1转一周，故此时可出两二个单值解析分

由于当z从支割线上岸一点出发，连续变动到z??1时，只z的幅角共增加

π2，

由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分支在上岸之幅角为0，因 而此分支在z??1的幅角为

π2π，故f??1??2e2i?2i

第三章

一、1D 2B 3C 4A 5C 6D 7C 8B 9B 10A 11A 12C 13C 14B 15B

二、1BD 2ACDE 3ABC 4CDE 5BC 三、1、?udx?vdy?i?vdx?udy

CC2、?

?2?in?1?0n?1

3、ML,M?0使得?f(z)??M，L为C之长 4、解析， 连续， 0 5、解析，F?(z)?f(z)

n!f(?)d?c6、

?2?i?H?x22(??z)?H?y22n?1(z?D)

7、??0

8、?(x,y)(x0y0),??x?ydx??u?xdy?C，其中C(x0,y0)为D内的定点

9、2?(?6?13i)

10、r及其内部均含于D，四、1、?

=?=

?2?2?a32z?4z?z?| ?3?0238?a?16?a?2?a

3322n!M(R)Rn，max|f(z)|,n?0,1...

z?a|?R2?a0(2z?8z?1)dz

2sin2、解①若C不含z=?1，则?czdz4?0 2z?1?sin?②若C含z=1但不含有z=-1,则?c42z?1zdz2?2?i?22?22?i

sin?42zdz?③若C含有z=-1,但不含 z=1,则：?④sin22cz?1?i

,

22若zd1cC含有

z??1则：

??c42z?1??s?1zi?n2?z?4z?2?i1d((z2z122??)i) 1?23、解?u?x2?xy?y2

?ux?2x?y?vy?2x?y

?v?2xy?y22?c(x)

?vx?2y?c?(x)??uy?2y?x

?c?(x)??x?c(x)??x22?D

?f(z)?(x?xy?y)?(2xy?i222y22?x22?D)i

12由已知f(i)=-1+i?-1+i=-1+?Di?D?

?f(z)?(x?xy?y)?i(2xy?11zdzz222y22?x22?12)

4 .=

?2?i1|z|?1[2?(z?)]f(z)

]dz

2?i?2f(z)z|z|?1?f(z)?f(z)z=2f(0)?f?(0)?2?f?(0)

coszc5. 解：?(z?i)4?2?i(cosz)3!(3)|z?i

=

?i3sini??ie3?1?e2i??1(?e）

6edzz?2?0

五．1．证明：?|z|?1,??设z?e,dz?ied??

i?i?|z|?1

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