复变函数论习题集解答

第一章

一、1．C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A

13.D 14.D 15D

二、1．ACD 2.BDE 3.CDE 4.ADE 5.ABCDE 三、1. arctgyx?π 2.

nreiθ?2kπn?k?0,1,?,n?1?

3.(1).D开集 (2)D中任意两点可用全在D中的折线连接. 4.在D内无论怎样划简单闭曲线,其内部仍全含于D. 5.对E内每一复数,z有唯一确定的复数w与之对应. 6.如果z0及f?z0?之一或者它们同时取? 7.

125πe12 8. z?z0?r,z0为圆心,r为半径

9.平面上点z0的任意邻域都有E的无穷多个点.

10.(1)彼此不交 (2)I?C?是一个有界区域 (3)E?C?是一个无界区域

(4)若简单折线p的一个点属于I?C?,另一个端点属于E?C?,则p必与C有交点. 四、1.解:z4??a4 zk?4π?2kππ?2kπ??a?cos?isin?,k?0,1,2,3

44??22.解:1?cosψ?isinψ?2sinψ2?2isinψ2cosψ2

ψ? ?2sin?2?sin?i2ψψ?co?s 2??πψ??sin2????? 2??ψ? ?2sin?2??πψ?c?os???i22???πψ????i?22? ?2sinψ2e

223.解:设z?x?iy,w?u?iv,则曲线z?1?1,可写成x?y?2x

w?1z?zz?z?x?ivx?y2?2xx?y2?i2yx?y2 2即u?xx?y1z22?x2x?12

12故w?将z平面上曲线z?1?1变成w平面上的直线u?

4.解:设z?x?iy,则

w?1?z1?z??1?x??iy?1?x??iy1?x?y2222?1?x?y??2yi ??1?x??y2222故Rew??1?x??y122 Imw?2y?1?x??y2222

w??1?x??y?x42?y2?2?1?2?x?y? 5.解:?cosθ?isinθ?

?cosθ?4icosθsinθ?6cosθsinθ?4icosθsinθ?sinθ432234

但?cosθ?isinθ??cos4θ?isin4θ

故cos4θ?cos4θ?sin4θ?6cos2θsin2θ?1?8sin2θcos2θ

sin4θ?4cosθsinθ?4cosθsinθ334

五.1.证明?z?1,?ab22az?bbz?a222?az?baz?b ?bz?abz?aaz?bbz?a?1

??abz?abz?b?abz?abz?a?1 故

设xn?iyn??1?i3? (xn.yn为实数,n为正整数) 2.证明:已知

xn?iyn?1?i3?13n?2???22?5nπ3nn??n?5nπ5nπ?n?i??2?cos?isin??33???5nπ3n

因此 xn?2ncosxnyn?1?xn?1yn

,yn?2sin

?22nn?15?n?15??π?n?5nπ5nπsin?sincos?cos3333?π?1?? ? ?22n?1?5?n?1?π5nπ?sin???

33??n?22n?1π43?5π?2n?1n?1sin???2sin???4?3?3?322? 3.证明:由于?z1z2z3与?w1w2w3同向相似的充要条件是?z3??w3,且

z2?z3z1?z3?w2?w3w1?w3,而?z3?argz2?z3z1?z3,?w?argw2?w3w1?w3,于是有

z2?z3z1?z3?w2?w3w1?w3,

z1w11即z2w21?0

z3w31试证:以z1,z2,z3为顶点的三角形和以w1,w2,w3为顶点的三角形同相似的充要条件

z1w11为z2w21?0

z3w314．证明：z1,z2,z3,z4四点共圆或共直线的充要条件为

?z1z2z3??z3z4z1?0或π

z?z4z1?z2:z3?z4z3?z2试证：四相异点z1,z2,z3,z4共圆周或共直线的充要条件是：1z3?z2z2?z1z1?z4z4?z3为实数。

但?z1z2z3?argz?z2z2?z1，?z3z4z1?arg

arg3?z?z4ar1g?z4?z3z?zz?z4ar3g?21， ?z2z1?z4z3z1?z4z1?z2:z3?z4z3?z2因此z1,z2,z3,z4共圆周或共直线的充要条件为试解函数f?z??5．f?z??11?z11?z为实数

在单位圆z?1内是否连续？是否一致连续

在z?1内连续但非一致连续

11?z证明 （1）1?z在z?1内连续且不为0，故在z?1内连续

（2）?ε0?1,?δ?0,??δ??z1?z2?1??2?，均存在z1?1?δ4,z2?1?δ2使得

δ4?δ

11?z1?11?z2?2?1

f?z1??f?z2??δ故f?x?在z?1内非一致连续

证明：Z平面上的圆周可以写成AZZ?BZ?BZ?C?0其中的A,C为实数A?0，

B复数且B?AC

26．证明：?Z平面上的圆周可以写成

z?z0??????? 其中z0为圆心，?为半径 ????z?z02??z?z0??z?z 0? ?z?z?0z?z?0z?z?z 0?z0 令A?1,B??z0,C?z0???，从而圆周可以写成 AZZ?BZ?B?Z?0CA,C为实数，且B22?z02?z02???AC

?

第二章

一、1.D 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C 9.B 10.

11.D 12.B 13.C 14.C 15.D

二、1.BC 2.ABDE 3.ABCDE 4.BD 5.ADE

三、1、不解析，但在z0的任一领域内总有f?z?的解析点

2、（1）二元函数u?x,y?、v?x,y?在D内满足C?R条件。 3、2kπi（k为整数） 4、zne1argz?2kπn，k?0,1,??,n?1

5、变点z绕这点一整周时，多值函数从其一支变到另一支。

6、z?a,z??,以z?a出发并伸向无穷的广义简单曲线，割破后的z平面上。 7、ln5?i?argtg??4???2k?1?π? 3?8、（1）a是一整时， （2）a是一有理数学 （3）a是一无理数或虚数。

9、（1） 10、f?z2?ei?角的连续改变量

cpq，（既约分数）

argf?z?，eiargf?z1?，当z从z1沿曲线C到终点z2时，f?z?的幅

四、1、解：u?x,y??ex?xcosy?ysiny??v?x,y??ex?ycosy?xsiny?

y?ysiyn? ux?ex?xcos?y uy?ex??xsiny?siyncy?o?svy cy?o?s?vx

故f?z?在z平面上解析，且

f'?z??ex??cosy??x?1??11x?iyx?yizysiny???ie??siny??x?1??ycosy??x

x2、解：e?e?ex?y22?ex?y22?yx?y22i?e

?1?2 ?Re?ez??ex?y??xy2cosx?y2

23、解：cos?1?i??ei?1?i??e2?i?1?i?

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