曲线积分与曲面积分(6)

而??xdydz?ydxdz?zdxdy??1??zdxdy??0

3?原式=2?a

二、通量与散度

??P?Q?R?高斯公式：?????????dV??x?y?z?????Pdydz?外?Qdzdx?Rdxdy

右端物理意义：为单位时间内（流体经过流向指定侧的流体的质量）离开闭域?的流体的总质量

?流体不可压缩且流动是稳定的，有流体离开?的同时，其部必须有产生流体的“源头”

产生同样多的流体来进行补充，故左端可解释为分布在?内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量

高斯公式可用向量形式表示：????????P??x??Q?y??R???dV??z??????v?nds???v?nds

同除闭区域?的体积:

1V??????P?Q?R?1????dV????y?z?V??x??v?nds

左端为?内的源头在单位时间、单位体积内所产生流体质量的平均值，应用中值定理得：

??P?Q?R????????y?z???x???,?,??1V??v?nds,??,?,????，令?缩为一点M?x,y,z?取极限得

?P?x??Q?y??R?z?lim1V??M???vnds，称

?P?x??Q?y??R?z为v在点M的散度，记divv，即

????P?Q?R divv????x?y?z散度divv可看成稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度——单位时间内、单位体积所产生的流质的质量.如果divv为负时，表示点M处流体在消失

一般：若向量场A?x,y,z??P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k，P,Q,R有一阶连续偏

???导数，?为场内一片有向曲面，n为?上点?x,y,z?处的单位法向量，则??A?nds称为向

??????????P?Q?R量场A通过曲面?向着指定侧的通量（流量），而叫做向量场A的散度，即???x?y?z??P?Q?R divA????x?y?z高斯公式又一形式

?????divAdv????Ands，?为?的边界曲面，

???An?A?n?Pco?s?Qco?s?Rco?s是向量A在曲面?的外侧法向量上的投影

例3：试计算??S?x?ey?1?x?dydz?4xydzdx?2xzdxdy，S为曲线??0?y?a?绕ox轴

z?0?2旋转所成的旋转曲面，其法矢量与ox轴正向夹角为钝角

解：S方程：x?ezy?z22添上平面S1:x?ea的前侧，构成封闭曲

面外侧，令P?1?x2,Q?4xy,R??2xz，

oy?P?x??Q?y??R?z??2x?4x?2x?0

0dV?0

x????1?x?dydz2S?S1?4xydzdx?2xzdxdy????????1?x?dydz2S1?4xydzdx?2xzdxdy????1?e?dydz2aDyz??1?e2a????a2

?原式??1?e?2a??a2

2练习:1.计算????z?ey,?1?y?2?绕z轴旋转2zxdydz?2ydzdx??5z?z?dxdy,?:曲线??x?0一周所成曲面的外侧?答案：?e?4e3?15e?2?? 2.设f?u?有连续的一阶导数，计算

1?x?1?x?2222?f?dydz?f??????dzdx?zdxdy,?由y?x?z,y?8?x?z所围立体的外y?y?x?y????侧。

小结：（1）高斯公式 （2）通量和散度 作业：P34 —P35 ，13

§10.7 斯托克斯公式、环流量、旋度

教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，及环流量和旋度的概念

教学重点：斯托克斯公式

教学难点：斯托克斯公式的应用

教学内容： 一、stokes公式

定理：设?为分段光滑的空间有向闭曲线，?是以?为边界的分片光滑的有向曲面，?的正向与的?侧符合右手规则，P,Q,R在包含曲面?在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有

?????R?Q???Q?P???P?R??????dydz??dzdx????????dxdy??y?z?z?x?x?y???????Pdx??Qdy?Rdz

dydzdzdx??yQdxdy??zRdS?说明：1.为便于记忆?????xP?Pdx??Qdy?Rdz

2.由两类曲面间关系，stokes公式另一形式 cos?cos???yQcos???zRdS??????xP?Pdx??Qdy?Rdz，n?(cos?,cos?,cos?)为?的单位法

向量

3.若?是xoy面上的一块闭区域，则stokes公式变为Green公式,即Green公式为stokes公式的特例

例1 计算?zdx?xdy?ydz,?为平面x?y?z?1被三个坐标面所截成的三角形的整个边

?界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则

z解：令P?z,Q?x,R?y ?P?Q?x?R?y?Q?z?R?x?P?zoy?y?0,?1,?1,?0,?0,?1，

由stokes公式：原式=??dydz?dzdx?dxdy

x??? 的法向量方向余弦均为正，且由对称性 32?原式?3??d??3?Dxy12?

二、环流量、旋度

????设A?x,y,z??P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k，

?????R?Q???P?R???Q?P???????则向量???,???,????称为向量场A的旋度，记rotA ?y?z?z?x?x?y???????????R?Q????P?R?rotA??????i???z??x??z??y????Q?P?????j????k ?y????xstokes公式向量形式

????????rotA?ndS??A?tds,n??cos?,cos?,cos??为?的法向量，t??cos?,cos?,cos???为?的切向量，或???rotA?nds?????Ads

t??Pdx??Qdy?Rdz????Atds称为向量场A沿有向闭曲线?的环流量

小结：（1）斯托克斯公式

（2）环流量和旋度

作业：书P224 ，1 （1） （2） 3

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