曲线积分与曲面积分(3)

例1． 计算?(y?x)dx?(3x?y)dy L：(x?1)2?(y?4)2?9

C 解： 原式=??(3?1)dxdy?18?，

D?Q?x?3，

?P?y?1

?x?acos3t例2． 计算星形线?围成图形面积(0?t?2?) 3?y?asintA?12?Lxdy?ydx?12?2?0(acost?3asin32tcost?asin2t?3acostsint)dt

2 =

3?a82

二 平面上曲线积分与路径无关的条件

1） 与路无关：是G为一开区域，P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，

若G内任意指定两点A,B及G内从A到B的任意两条曲线L1,L2

?L1Pdx?Qdy??L2则称?Pdx?Qdy在G内与路径无关。Pdx?Qdy恒成立，

L否则与路径有关。

例1．

?L(x?y)dx?(x?y)dy L1：从(1,1)到(2,3)的折线

L2从(1,1)到

y(2,3)L2L1(1,1)(2,3)的直线

解：?Pdx?Qdy=?(2?y)dy?L113?21(1?x)dx?52 3

L2：y?3?2(x?2),即 y?2x?1

xo?L2(x?y)dx?(x?y)dy=

?21[(x?2x?1)?2(1?x)]dx?52

定理：设P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域D内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价

（1）内任一闭曲线C，?Pdx?Qdy=0。

C（2）对内任一曲线L，?Pdx?Qdy与路径无关

L（3）在D内存在某一函数?(x,y)使d?(x,y)?Pdx?Qdy在D内成立。

（4）

?P?y??Q?x，在D内处处成立。

??证明：（1）?（2） 在D内任取两点A,B，及连接A,B的任意两条曲线AEB，AGB

y??EABG ∴C?AGB?BGA为D内一闭曲线 由（1）知?Pdx?Qdy，

Cox即?∴??AGBPdx?Qdy+?Pdx?Qdy=??BEAPdx?Qdy=0 Pdx?Qdy

??AGBBEA（2）?（3）若?Pdx?Qdy在D内与路径无关。当起点固定在（x0,y0）点，终点

L为(x,y)后，则?(x,y)(x0,y0)Pdx?Qdy是x,y的函数，记为u(x,y)。

(x,y)下证：u(x,y)=?(x0,y0)Pdx?Qdy的全微分为du(x,y)=Pdx?Qdy。

?u?x?P(x,y)，

∵P(x,y)，Q(x,y)连续，只需证?u?y?Q(x,y)，

yM(x,y)N(x+?x,y) 由定义

?u?x?limu(x??x)?u(x,y)?x

o?x?0M0(x0,y0)xu(x??x,y)??(x??x,y)(x0,y0)Pdx?Qdy=u(x,y)+?x??x(x??x,y)(x,y)Pdx?Qdy

=u(x,y)+?xPdx

Pdx=P?x，P?P(x???x,y) (0???1)

∴u(x??x,y)?u(x,y)=? 即

?u?x?P(x,y)， 同理

x??xx?u?y?Q(x,y)。

（3）?（4）若du(x,y)=Pdx?Qdy，往证

?P?y=

?Q?x，P??P?x2，Q??Q?y

?P?y??P?x?y，

?Q?x??Q?y?x， 由P,Q具有连续的一阶偏导数

?u?x?y??u?y?x2

故

?P?y=

?Q?x

（4）?（1）设C为D内任一闭曲线，D为C所围成的区域。?Pdx?Qdy=

C??D(?Q?x??P?y)dxdy=0。

例2．曲线积分I?y?L(e?x)dx?(xeyx ?2y)dy， L为过(0,0)，(0,1)和(1,2)点的圆弧。

y解： 令P?ey?x，Q?xeB?2y，则

?Q?x?e，

y

?P?yy?e ∴I与路径无关。

oAx 取积分路径为OA?AB。

I?1?0OAPdx?Qdy+?ABPdx?Qdy

2=?(1?x)dx?

例3． 计算?xdy?ydxx?y22?20(e?2y)dy=e?y72

C， （1）c为以(0,0)为心的任何圆周。

（2）c为以任何不含原点的闭曲线。

y 解：（1）令P??yx?y22，Q?xx?y2222，

o x ?P?y?y?x22222(x?y)，

?Q?x?y?x22(x?y)2，

∴在除去(0,0)处的所有点处有

?P?y=

?Q?x，做以0为圆心，r

为半径作足够小的圆使小圆含在C内，∴?2?C??CrPdx?Qdy=0，即

?CPdx?Qdy??rcos22x?rsin?r220d?=2??0

（2）∵

?P?y=

?Q?x ∴?Pdx?Qdy?0

C2． 二元函数的全微分求积

y(x,y)∵

?CPdx?Qdy与路径无关，则Pdx?Qdy为某一函数

的全微分为

(x0,y0)o(x,y)xu(x,y)=?(x0,y0)Pdx?Qdy=?Pdx?Qdy+?Pdx?Qdy

x0y0xy注：u(x,y)有无穷多个。

例4． 验证：(2x?siny)dx?xcosydy是某一函数的全微分，并求出一个原函数。

解：令P?2x?siny，Q?xcosy

y?Q(x,y)?x?cosy，

?P?y?cosy

∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取

xx(x0,y0)?(0,0)，

o(x.0)

Pdx?Qdy=?2xdx?0u(x,y)??3(x,y)(0,0)?y0xcosydy=x?xsiny

2

例5． 计算?(ye?my)dy?(3ye?m)dy， c为从E到F再到G，FG是半圆弧

Cx2x?解：令P?ye?my， Q?3ye?m

y3x2xF(2,1)?P?y?3ye?m，

2x?Q?y?3ye，

2x?QoE(1,0)G(3,0)??x?x??P?y?m

添加直线GE，则，原式+?GEpdx?Qdy=???Dmdxdy

1222 =?m[?4312?2?1???()]=?m(1?2?4)

∴原式=?(1?)m??10dx=?m(1??4)

例

y6．设f(x)在(??,??)上连续可导，求

BCoAx?1?yf(x,y)y232Ldx??xy2L[yf(x,y)]dy，其中

2 为从点A(3,)到B(1,2)的直线段。

1?yf(x,y)y2 解；令P?

?P?y?Q?x， Q?xy2[yf(x,y)?1]

2?[2yf(x,y)?xy22f?(x,y)]y?1?yf(x,y)y2=

yf(x,y)?xyf(x,y)?1y3223

?1y2[yf(x,y)?1]?2xy2[yf?(x,y)]?3yf(x,y)?xyf(x,y)?1y22

?P?y??Q?x，故原积分与路径无关，添AC?CB构成闭路，∴原式+?2?BC??0

AC ∴原式=?CB??AC=?231y1[yf(y)?1]dy?22?1323[1?49f(23x)]dx

??3[32?23f(123x)]dx?3?2[f(y)?321y2]dy

2

23x?u32x3??22f(u)du??223f(y)dy?1y??4

23 练习：1.证明：若f(u)为连续函数，而C为无重点的按段光滑的闭曲线，则

?cf(x?y)(xdx?ydy)?0。

y?022 2.确定的n值，使在不经过直线

x(x?y)y22n的区域上，

I??cdx??x(x?y)y2222ncdy与路径无关，并求当C为从点(1,1)到

点B(0,2)的路径时I的值。 n??12，I?1?2

3．设f(x,y)，g(x,y)为L上的连续函数，证明

?Lfdx?gdy??f2L?gds

2小结： 1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积。

2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成

为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可。

作业：P27 5 P28 6 P29 7，8

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库曲线积分与曲面积分(3)在线全文阅读。