第十章 曲线积分与曲面积分
§10.1 对弧长的曲线积分
教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用
教学重点：弧长曲线积分的计算
教学难点：弧长曲线积分的计算
教学内容：
一、对弧长曲线积分的概念与性质 1． 曲线形构件质量
设一构件占xoy面内一段曲线弧L，端点为A,B，线密度?(x,y)连续 求构件质量M。
yB解：（1）将L分割?si?i?1,2,??,n? （2）?(xi,yi)??si，?Mi??(xi,yi)??si （3）M?Aox???xi?1ni,yi??si
n（4）M???(xlim??0i?1i,yi)?si
??max{?s1,?s2,?,?sn}
2．定义 L为xoy面内的一条光滑曲线弧，f(x,y)在L上有界，用Mi将L分成n小段?Si，
n任取一点(?i,?i)??Si (i?1,2,??,n) 作和?f(?i,?i)?Si，令
i?1n??max{?s1,?s2,?,?sn}，当??0时，lim??0?i?1f(?i,?i)?Si存在，称此极限值
为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为
n?Lf(x,y)ds??lim??0i?1f(?i,?i)?Si
注意：（1）若曲线封闭，积分号?f(x,y)ds
（2）若f(x,y)连续，则?f(x,y)ds存在，其结果为一常数.
L（3）几何意义f(x,y)=1，则?f(x,y)ds=L（L为弧长）
L（4）物理意义 M=??(x,y)ds
Ln（5）此定义可推广到空间曲线?f(x,z,y)ds=lim???0?i?1f(?i,?i,?i)?Si
（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上
??xds重心：x?L??yds，y?L??zds，z?LMMM。
转动惯量：Ix??Ly?(x,y)ds， Iy?2?Lx?(x,y)ds， Io?2?(x?y)?(x,y)ds
L22（7）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但?f(x,y)ds与L的方向
L无关
3．对弧长曲线积分的性质
a：设L?L1?L2，则?f(x,y)ds=?f(x,y)ds+?f(x,y)ds
LL1L2b：?[f(x,y)?g(x,y])ds=?f(x,y)ds?LL?g(x,y)ds
Lc：?kf(x,y)ds=kL?Lf(x,y)ds。
二 对弧长曲线积分的计算
定理：设f(x,y)在弧L上有定义且连续，L方程??x??(t)?y??(t) （??t??），?(t),?(t)
22在[?,?]上具有一阶连续导数，且??(t)???(t)?0，则曲线积分?f(x,y)ds存在，且
L?Lf(x,y)ds=?f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt。
L22说明：从定理可以看出
（1） 计算时将参数式代入f(x,y)，ds?分。
（2） 注意：下限?一定要小于上限?，?0）
2（3） L：y??(x), a?x?b时，?f(x,y)ds=?f[x,?(x)]1?[??(x)]dx
L??(t)???(t)dt，在[?,?]上计算定积
22ba同理L：x??(y)，c?y?d时，?f(x,y)ds=?f[?(y),y]1?[??(y)]2dy
Ldc(4) 空间曲线P：x??(t)，y??(t)，z??(t)，
?f(x,y)ds=??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt
P?例1．计算曲线积分?yds，其中L是第一象限内从点A(0,1)到点B(1,0)的单位圆弧
Ly解 (Ⅰ) L：y?1?x2 0?x?1
Ads?1?x2dx1?x2dx?
1?x2Box∴?yds=?1101?x2?dx0dx?1
L1?x2??(Ⅱ) 若L是ⅠⅣ象限从A(0,1)到B'(1,?322)的单位圆弧
（1?yds=
?yds+
yds
???yLABBB?ABoxB'=?11201?x2?dx11?x?dx
1?x2+?21?x2=?1dx+?1301dx =
22
(2) 若L：x?1?y2 (?32?y?1ds?1?y21?y2dy?dy1?y2
)
）
?Lyds=?132y1?y2?dy=
??032y1?y2?dy+?1y1?y20dy?32
(3) L：x?cost，y?sint ?ds?22?3?t??2
(?sint)?costdt?dt
??0?Lyds=?2?sintdt=?2sintdt??3???0sintdt?32
3例2．计算?eLx?y22ds L：r?a ??0 ???4?所围成的边界
解 L?OA?AB?BO
y 在
BOAx?y22上
ax y?0a 0?x?a ds?dx
?Aox?eOA?ds=?edx?e?1
0 在AB上
2
?r?a 0????4ds?adx
???ABex2?yds=?4ead??02a?a4e
a在OB上 y?x ds?2dx
2ax?y2?2x
?eLx?y22OB22ds=?20ea2x2xdx?e?1
a ∴ ?e例3．计算? x?yds=2(e?1)+
2?a4e
2aLx?yds L：x?y22?ax
y 解 ???x?rcos??y?rsin? L：r?acos? (??2????2)
o a x
ds??x?y22?r?acos?，
2?acos??2?22????asin??d??ads
2∴
?Lx?yds=?2?acos??ad?=asin??222?2=2a
aa?x??cos?,??22 或 ? 0???2?
?y?asin?.?2?a22x?y22?a21?cos?
ds?(?sin?)?(a2sin?)d?=
2a2d?
∴?Lx?yds=?222?a201?cos??a2d?=
a22?2?0cos?22d?=2a
例4．?xds L：y?x y?x2 围成区域的整个边界
L?yA解 L=OA?OA 交点?1?y?x?y?x12 (0,0) (1,1)
?xds=?xds+?LOA120?OAxds=?x2dx+?x1?4xdx
0012x = ox221223+?(1?4x)83=
022+
112(55?1)
小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 P23 1 P24 2、3
§10.2 对坐标的曲线积分
教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用 教学重点：对坐标曲线积分的计算
教学难点：对坐标曲线积分的计算
教学内容：
一、对坐标的曲线积分定义和性质
1．引例：变力沿曲线所作的功。
设一质点在xoy面内从点A沿光滑曲线弧L移到点B，受力F(x,y)?P(x,y) i ?Q(x,y)j ，其中P，Q在L上连续。求上述过程所作的功
?解：（1）分割 先将L分成n个小弧段Mi?1Mi (i?1,2,??,n)
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