曲线积分与曲面积分(5)

（6）设?为有向曲面，??表示与?相反的侧 则?? 二、计算

定理：设?由z?z(x.y)给出的曲面的上侧，?在x?y面上的投影为Dxy，

z?z(x.y)在Dxy内具有一阶连续偏导数，R??Pdydz=?Qdzdx=?Rdxdy=????Pdydz Qdzdx Rdxdy

??????????????在?上连续，则

???Rdxdy=??OxyR[x,y,z(x,y)](?Si)xy。

∵?取上侧，则cos??0，即(?Si)xy?(??i)xy，又(?i,?i,?i)为?上的点，则

nn ?i?z(?i,?i)，∴?R(?i,?i,?i)(?Si)xy=?R(?i,?i,z(?i,?i))(??i)xy，令

i?1i?1 ??0，取极限则??Rdxdy=???OxyR[x,y,z(x,y)]dxdy

说明：（1）将z用z?z(x,y)代替，将?投影到x?y面上，再定向，则

???Rdxdy=??DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy

（2）若?：z?z(x,y)取下侧，则cos??0，(?Si)xy??(??i)xy ∴??R[x,y,z(x,y)]dxdy=????DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy

（3）??Pdydz，??Qdzdx与此类似

?? ?：y?y(x,z)时，右侧为正，左侧为负 ? ：x?x(y,z)时，前侧为正，后侧为负

2222例1． 计算??xdydz?ydxdz?zdxdy，?为x?y?z?a，z?0的上侧

?222222解：将?向y?z面投影为半圆y?z?a，z?0，x??a?y?z

???xdydz=??Dyza?y?zdydz?(???222222Dyz?a?x?ydydz) a?rrdr?22222 =2??Dyza?y?zdydz=2?d?0??a230?a

3由对称性??ydxdz=

?233?a，??zdxdy=

23?3?a

∴原式=

23注意： ?必须为单值函数，否则分成n片曲面

3?a?3=2?a3

例2．??x(y?z)dydz_?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy ?为z2?x2?y2与z?h围成

? (h?0)，取外侧。

解：?1；园锥面上底，z?h，z2?x2?y2上侧 ?2 园锥面侧面，??2为前侧， ??2?为后侧

???1x(y?z)dydz=0，

???1(z?x)dzdx?0

???1(x?y)dxdy???Dxy(x?y)dxdy??2?0d??r(cos??sin?)rdr，

0?外h?????2(x?y)dxdy????x(y?z)dydz+??22Dxy(x?y)dxdy， ∴??(x?y)dxdy?0

??2???2x(y?z)dydz=

??Dyzz?y(y?z)dydz???Dyz?z?y(y?z)dydz

22 =2??Dyzz?y22?2?dz?0hz?zz?y(y?z)dy??22?h44

???外+??(z?x)dzdx????（z?xdzdx）（z?x）dzdx=?0

?2左?2右∴原式=??4h

4

三、两类曲面积分间的关系

若?：z?z(x.y)，?在x?y面的投影域Dxy，z在Dxy上有一阶连续偏导数，R在

?上连续，?取上侧

???Rdxdy=??OxyR[x,y,z(x,y)]dxdy

?zy1?z?z2x2ycos???zx1?z?z2x2y，cos??，cos??11?z?z2x2y

???R(x,y,z)cos?ds=??DxyR[x,y,z(z,y)]cos?1?zy?zxdxdy

22 =??DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy

若?取下侧，??Rdxdy=????DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy

22Rcos?1?zy?zxdxdy

???Rcos?ds=??Dxy =???DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy

Qdzdx=??Pcos?ds

?类似??Pdydz=??Pcos?ds，

???????∴??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy=??[Pcos??Qcos??Rcos?]ds

{cos?,cos?,cos?}为?在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。

例2． 计算??(z?x)dydz?zdxdy ?是z??212(x?y)介于z?0和z?2之间部

22分的下侧

解：

???(z?x)dydz?2???(z?x)cos?ds

2 ds?1?x?ydxdy， cos??22x1?x?y22

∴??(z?x)dydz=??(z2?x)?2x1?x?y22?1?x?ydxdy

22 =?? =??

Dxy(z?x)dxdy?2??Dxy[x(x?y)4222?x]dxdy

2Dxyxdxdy

?11?z?y222????zdxdy?????zcos?ds????z1?z?ydsdy

22 ???12Dxyzdxdy

2? ∴原式=??[x?(x?y)]dxdy=?Dxy2220d??[rcos??0222r(cos??sin?)2222]rdr

=?2?0d?2?20(rcos??223212r)dr?8?

2223练习： 设?是球面x?y?z?a的外侧，投影域Dxy：x?y?a ，下面等式是

否成立？将错的更正

（1）??xyzds=??xyzdxdy

??22222 （2）??(x2?y2)dxdy????Dxy(x?y)dxdy

2222 （3）??(xyz)dxdy??22??Dxyxya?x?ydxdy

222两类曲面积分间的关系用向量形式表示如下：

???A?ds????A?nds????Ands

其中 A={P,Q,R}，n?{cos?,cos?,cosr}为有向曲面?上点(x,y,z)，处的单位法向

量，ds?n?ds={dydz,dzdx,dxdy}称为有向曲面元，An为向量A在向量n上的投影

小结：（1）对坐标的曲面积分的感念和性质 （2）对坐标的曲面积分的计算 （3）两类曲面积分的联系 作业：P32，11 P33 ，12

§10.6 高斯公式，通量与散度

教学目的：理解和掌握高斯公式及应用，了解通量与散度的概念

教学重点：高斯公式

教学难点：高斯公式的应用

教学内容： 一. Gauss公式

定理，设空间闭区域?是有分片光滑的闭曲面?所围成的，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，

?P?x?Q?y?R?z在?上具有一阶连续偏导数，则??(???)dv=??pdydz?Qdzdx?Rdxdy

? =??(pcos??Qcos??Rcos?)ds

?其中?是?的整个边界曲面的外侧，cos?,cos?,cos?是?上点(x,y,z)处的法向量的方

向余弦，称之为高斯公式。

?2z证明：设?在x?y面上证明：设?在xoy面上的投影域Dxy，

?3?1y且过?内部且平行于z轴的直线与?的边界曲面?的交点恰好两个，则?由?1,?2,?3组成，?1:z?z1?x,y?取下侧，?2:z?z2?x,y?取上侧，z1?x,y??z2?x,y?，?3是以Dxy的边界

x曲线为准线，母线平行于z轴的柱面的一部分，取外侧，

?????Rz2?x,y????R??dv?????dz?dxdy??z?z?Dxy??z1?x,y?????R?x,y,z?x,y???R?x,y,z?x,y???dxdy21Dxy

??R?x,y,z?dxdy?1?2????R?x,y,z?x,y??dxdy1Dxy??R?x,y,z?dxdy???R?x,y,z?x,y??dxdy2Dxy

??R?x,y,z?dxdy?3?0

??????R?xdv???R?x,y,z?dxdy(1)

?类似：若过?内部且平行于x轴，y 轴的直线与?的边界曲面?的交点也且由两个时有

?????P?x?Q?ydv?dv???P?x,y,z?dydz??(2)??????Q?x,y,z?dzdx(3)

(1)+(2)+(3)即可证得高斯公式

若?不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之

和为零 例1

??x?y?z?dydz???z?x?dzdx??x?y?dxdy,?是z2?x?y与z?h?0围成表面22的外

侧

解：令P?x?y?z?,Q?z?x,R?x?y,则2?hh?P?x??Q?y??R?z?y?z

?原式?????y?z?dv???d??rdr??rsin?00r2?z?dz??22?h424

例2 计算??xdydz?ydxdz?zdxdy,?:x?y?z?a,z?0的上侧

?2?x2?y2?a2解：添上?1：与?构成封闭曲面 ?z?0?令P?x,Q?y,R?z,则?P?x??Q?y??R?z?3

????1??xdydz?ydxdz?zdxdy?????3dV?3?23?a?2?a

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