曲线积分与曲面积分(4)

S§10.4 对面积的曲线积分

教学目的：理解和掌握对面积的曲线积分的概念性质及计算

教学重点：对面积的曲线积分的计算

教学难点：对面积的曲线积分的计算

教学内容：

一：概念和性质 1．空间曲面质量

在对平面曲线弧长的曲线积分中，将曲线换为曲面，线密度换为面密度，二元函数换为三元函数即可得对面积的曲面积分。设有一曲面。其上不均匀分布着面密度为S上的连续函数???(x,y,z)，求曲面S的质量。经分割，代替，求和，取极限四步，

M?lim??0f(?i,?i,?i)??Si

2．定义

设曲面?是光滑的，f(x,y,z)在?上有界，把?分成n小块，任取(?i,?i,?i)??Si，

n作乘积f(?i,?i,?)??Si(i?1,2,??????,n)，再作和?f(?i,?i,?i)?xi(i?1,2,??????,n)，当

i?1各小块曲面直径的最大值??0时，这和的极限存在，则称此极限为f(x,y,z)在?上对面积的曲面积分或第一类曲面，记??f(x,y,z)ds，即

?n????f(x,y,z)ds=lim??0?i?1f(?i,?i,?i)??Si

说明：（1）??f(x,y,z)ds为封闭曲面上的第一类曲面积分 （2）当f(x,y,z)连续时，??f(x,y,z)ds 存在

? （3）当f(x,y,z)为光滑曲面的密度函数时，质量M? （4）f(x,y,z)=1时，S????f(x,y,z)ds

??ds为曲面面积

? （5）性质同第一类曲线积分???1??2

（6）若?为有向曲面，则??f(x,y,z)ds与?的方向无关。

?二、计算

定理：设曲面?的方程z?z(x,y)，?在xoy面的投影Dxy，若f(x,y,z)在Dxy上具

有一阶连续偏导数，在?上连续，则??f(x,y,z)ds=???Dxy22f(x,y,z(x,y))1?zx?zydxdy

说明：（1）设z?z(x,y)为单值函数

（2）若?：x?x(y,z)或y?y(x,z)可得到相应的计算公式。 （3）若?为平面里与坐标面平行或重合时??f(x,y,z)ds=???Dxyf(x,y,0)dxdy

例1． 计算I????(x?y)ds，?为立体

22x?y22?z?1的边界

解：设???1??2，?1为锥面z?z22x?y，0?z?1

?2为z?1上x?y?1部分， ?1,?2在x?y面投影为x?y?1

?z22222oydS1?1??x??z2?ydxdy=2dxdy，

x dS2?dxdy

∴I????1(x?y)ds1+??2222?2(x?y)ds2

22 =??(x?y)2dxdy?D??D(x?y)dxdy

2?1322 =(2?1)??(x?y)dxdy?(1?D222)?d??rdr?10?2(1?2)

例2． 计算??ds?(1?x?y)2，?由x?y?z?1，x?0，y?0，z?0的边界

解：???1??2??3??4

?1：z?0，?2：x?0，?3：y?0，?4：x?y?z?1

由对称性??ds?2(1?x?y)2=??1ds?3(1?x?y)1?z2=??1Dyoz(1?x?y)2dydz

=?dz?0dy(1?y)120?1?ln2。

??ds?1(1?x?y)2=??dsDx?y(1?x?y)2=?dx?01?xdy(1?x?y)20?ln2?12

??ds?4(1?x?y)2=??3dxdyDx?y(1?x?y)?2=?dx?011?x3dxdy(1?x?y)20?3(ln2?12)

∴原式=

???1????2????3??ds?4(1?x?y)122=2(1?ln2）+（ln2?12）+

（3(ln2?)）=(3?1)ln2?3?23

例3． 计算??xyzds，?为x2?y2?z2被平面z?1所割得部分

?解：设第一象限内的部分为?1：x?0，y?0，x2?y2?z

???xyzds=??Dxyxyz11??z2?x??z2?ydxdydz=4??22Dxyxyz1?4x?4ydxdy

22?0=4?2d??rsin?cos??r?1?4rrdr

02?=4(sin?2122)?(10?210r41?4rdr22

1?4r2?u?tg?51u?(u?1432)?2?2u432(u?1)du=

221255?1420

或r?1211tg??132121160tg??sec??414?2tg??sec?d?

2 =?20tg1tg??sec?d?=

531321?2tg10tg?sec?dsec?

42 =

132?2tg10(sec??1)sec?dsec?=

2221255?1420

练习：P191，6（1）（3） ，4， 7

小结：（1）对面积的曲线积分的概念和性质 （2）对面积的曲线积分的计算 作业：P30，9 P31，10

§10.5 对坐标的曲面积分

教学目的：理解和掌握对坐标的曲面积分的概念和性质

教学重点：对坐标曲面积分的计算

教学难点：对坐标曲面积分的计算

教学内容：

一、定义、性质 1．有向曲面

侧：设曲面z?z(x,y)，若取法向量朝上（n与z轴正向的夹角为锐角），则曲面取定上

侧，否则为下侧；对曲面x?x(y,z)，若n的方向与x正向夹角为锐角，取定曲面的前侧，否则为后侧，对曲面y?y(x,z)，n的方向与y正向夹角为锐角取定曲面为右侧，否则为左侧；若曲面为闭曲面，则取法向量的指向朝外，则此时取定曲面的外侧，否则

为内侧，取定了法向量即选定了曲面的侧，这种曲面称为有向曲面 2．投影

设?是有向曲面，在?上取一小块曲面?S，把?S投影到x?y面上，得一投影域??xy

（表示区域，又表示面积），假定?S上任一点的法向量与z轴夹角?的余弦同号，则规

???xy???????0?cos??0xy定投影?Sxy为?Sxycos??0 实质将投影面积附以一定的符号，同理可以cos??0定义?S在y?z面，z?x面上的投影?Syz，?Szx

3．流向曲面一侧的流量

设稳定流动的不可压缩的流体（设密度为

1）的速度场为

v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，?为其中一片有向曲面，P,Q,R在?上

连续，求单位时间内流向?指定侧的流体在此闭域上各点处流速为常向量v，又设n为该平面的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一底面积为A，斜高为v的斜

?柱体，斜柱体体积为A?v?cos??A?v?n ((n,v)????2)时，此即为通过区域A流向

??vn所指一侧的流量。当((n,v)????2)时，流量为0，当

?A?n?((v,???n)???)时，流量为负任称为流体通过闭区域A流向

2n所指一侧的流量均称为A?v?n。

解：但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速v也不是常向量，故采用元素法。把?分成n小块?Si，设?光滑，且P,Q,R连续，当?Si很小时，流过?Si的体积近似值为以?Si为底，以v(?i,?i,?i)为斜高的柱体，任(?i,?i,?i)??Si，ni为

(?i,?i,?i)处的单位法向量ni?{?i,?i,?i}，故流量?i?v(?i,?i,?i)?n??Si，

nni ???vi?1ni?Si=?[Pcos?i?Qcos?i?Rcos?i]?Si 又cos?i??Si??Sizy

i?1 cos?i??Si??Sizx，cos?i??Si??Sixy

n ∴???[P?Si?1niyz?Q?Sizx?R?Sixy]

∴??4．定义

?[P?Slim??0i?1iyz?Q?Sizx?R?Sixy] ?最大曲面直径

设?为光滑的有向曲面，R(x,y,z)在?上有界，把?分成n块?Si，?Si在x?y面上

n投影(?Si)xy，(?i,?i,?i)是?Si上任一点，若??0，lim??0?R(?i?1i,?i,?i)?Sixy

存在，称此极限值为R(x,y.z)在?上对坐标x,y的曲面积分，或R(x,y.z)dxdy在有曲面?上的第二类曲面积分，记为??R(x,y,z)dxdy。类似P,Q对y?z及z?x曲面积分分别为

?n

?????Pdydz=lim??0?R(?i?1ni,?i,?i)?Siyz

?Qdzdx=lim??0?Q(?i?1i,?i,?i)?Sizx

说明：（1）?有向，且光滑

（2）P,Q,R在?上连续，即存在相应的曲面积分

（3）??Pdydz+??Qdzdx+??Rdxdy=??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

???? （4）稳定流动的不可压缩流体，流向?指定侧的流量?=??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

? （5）若???1??2，则??Pdydz?????1Pdydz+???2Pdydz

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