曲线积分与曲面积分(2)

?（2）代替 用Mi?1Mi??xii??yij近似代替M?i?1Mi ?xi?xi?xi?1，

?yi?yi?yi?1 ?(?i,?i)?M?i?1Mi

?F(x,y)?P(x,y) i ?Q(x,y)j 近似代替Mi?1Mi内各点的力，则F(x,y)沿Mi?1Mi所

做的功?wi?F(?i,?i)?Mi?1Mi

n（3） 求和 w??[P(?i?1i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]

?（4）取极限 令??max{Mni?1Mi的长度i?1,2,?,n}

w?lim??0?[P(?i?1i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]

2． 定义： 设L为xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在

L 上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列Mi?1(xi?1,yi?1) (i?1,2,??????,n)把L分成n个有向小弧段

? Mi?1Mi(i?1,2,??????,n;M0?A,Mn?B)

?设?xi?xi?xi?1,?yi?yi?yi?1，点(?i,?i)为 Mni?1Mi上任意取定的点.如果当个

小弧段长度的最大值??0时，?P(?i,?i)?xi的极限总存在，则称此极限为函数

i?1P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作?P(x,y)dx.类似地，如果

Ln?Q(?i?1i则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标,?i)?yi的极限值总存在，

y曲线积分，记作?Q(x,y)dy.即

Ln

?LP(x,y)dx?lim??0?P(?i?1ni,?i)?xi，

?LQ(x.y)dy?lim??0?Q(x,y)?yi?1i

说明：（1）当P(x,y)Q(x,y)在L上连续时，则?P(x,y)dx，?Q(x,y)dy存在

LL （2）可推广到空间有向曲线?上

※ （3）L为有向曲线弧，L?为L与方向相反的曲线，则

??LP(x,y)dx=?Q(x,y)dy=???LL?P(x,y)dx， Q(x,y)dy

LL? （4）设L=L1?L2，则?Pdx?Qdy=?Pdx?Qdy+?Pdx?Qdy

L1L2 此性质可推广到L=L1?L2???Ln组成的曲线上。 二、计算

定理：设P(x,y)，Q(x,y)在L上有定义，且连续,L的参数方程为?x??(t), ?

y??(t),?当t单调地从?变到?时，点M(x,y)从L的起点A沿L变到终点 B，且?(t),?(t)在以

?，?为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且??2(t)???2(t)?0，则

?P(x,y)dx?Q(x,y)dyL存

?在，且

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy=?{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt

?注意1）?：L起点对应参数，?：L终点对应参数 ?不一定小于? 2）若L由 y?y(x)给出 L起点为?，终点为?

?LPdx?Qdy???{P[x,y(x)]?Q[x,y(x)] y?(x)}dx.

?3）此公式可推广到空间曲线?：x??(t)，y??(t)，z??(t)

??Pdx?Qdy?Rdz???{P[?(t),?(t),?(t)]??(t) ?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)

? ?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt?：?起点对应参数，?：?终点对应参数

例1． 计算：?(2a?y)dx?(a?y)dy L：摆线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)从点

LO(0,0)到点B(2?a,0)。

解：原式=?[2a?a(1?cost)]a(1?cost)?[a?a(1?cost)asint]dt

02? =?[?a(1?cost)a(1?cost)?acostsint]dt

02?2 =a(?22?0[?a1?cos2t2a(1?cost)?acostsint]dt)

2?22 =a2(t?sin2t?sin2t)??a

2420111

2?L?(2a?y)dx?(a?y)dy???a

2例2．?xydx?(x?y)dy L：1）曲线y?x2 2）折线L1?L2 起点为(0,0)，终点为(1,1).

LyL2L1ox解1）原式=?[x?x4?(x?x2)]dx=

0143

2） 原式=?

L1??L2=?ydy?01?10xdx=1

故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关

例3．设A?x2i?3zy

练习：1计算(1) ?xdy?2xydx.，其中L为（1）的抛物线y?x2上从O(0,0)到B(1,1) 一

L222j?xyk，计算?Ads L由P1(0,0,0)到P2(3,2,1)直线

L段弧。（2）抛物线x?y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧。（3）有向折线DAB，这里O,A,B依次是点(0,0)，(1,0)，(1,1)

结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。

2计算?xdx?3zydy?xydz ?从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB

?3223． 两类曲线积分的关系

??AM?sAB?l 则设有向曲线弧L的起点A 终点B 取弧长为曲线弧L的参数。

?x?x(s) 0?s?l ?y?y(s)?yMLAoB若x(s),y(s)在 上具有一阶连续导数，P,Q在L上连续，则

?Pdx?Qdy

Lx=?{P[x(s),y(s)]0ldxds?Q[x(s),y(s)]dyds}ds

=?{P[x(s),y(s)]cos??Q[x(s),y(s)]sin?}ds

0l其中cos??dxds，sin??dyds是L的切线向量的方向余弦，且切线向量与L 的方向一致，

又?(Pcos??Qsin?)ds=?{P[x(s),y(s)]cos??Q[x(s),y(s)]sin?}ds

Ll0∴?Pdx?Qdy=?(Pcos??Qsin?)ds

LL同理对空间曲线?：?Pdx?Qdy?Rdz=?(Pcos??Qcos??Rcos?)ds

LL?,?,?为?在点(x,y,z)处切向量的方向角，用向量表示：?Adr???A?tds

?A?{P,Q,R}，t?{cos?,cos?,cos?}为P上(z,y,z)主单位切向量， dr?tds{dx,dy,dz}为有向曲线元

小结：1.对坐标的曲线积分概念和性质 2. 对坐标的曲线积分的计算 3.两类曲线积分的关系 作业：P25—26，4

§10.3 Green公式

教学目的：理解和掌握Green公式及应用

教学重点：Grenn公式

教学难点：格林公式的应用

教学内容： 一、Green公式

1． 单连通区域。设D为单连通区域，若D内任一闭曲线所围的部分都属于D。称D为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。规定平面D的边界曲线L的方向，当观看者沿L行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边，如

ylLx

定理1. 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)和Q(x,y)在D上具有一阶连

?Q?x?P?y续偏导数，则有??(D?)dxdy=?Pdx?Qdy。L为D的取正向的边界曲线。

L即格林公式

证：对既为x- 型又为y-型区域

yL2L2：y??2(x)∵

?P?yb连续，

L1o??bxba?PD?ydxdy=?dx?a?2(x)?P(x,y)?y?1(x)dy

a=?{P[x1,?2(x)]?P[x1,?1(x)]}dx

L1：y??1(x) 又?Pdx?L?PdxL1??PdxL2

b =?P[x1,?1(x)]dx+?P[x1,?2(x)]dx

aab =?{P[x1,?1(x)]?P[x1,?2(x)]}dx

ab∴????PD?ydxdy??PdxL

对于y-型区域，同理可证

???QD?ydxdy=?Qdx ∴原式成立

L对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在D1,D2,D3,D4上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。

几何应用，在格林公式中，取P??y,Q?x，2??dxdy=?xdy?ydx

DL ∴A?12?Lxdy?ydx

说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立

2）记法?xdy?ydx=??L?D?x???ydxdy

3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分。

4）几何应用。

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