2010全国高中数学联赛浙江赛区预赛试卷及答案(6)

a3273 2

(a 3)(8a 3a 9) 0 a 3,a 2

a

1816

a2 13 2 a 1 a 不合题意，舍去)， a 3. --------- 17分 a16

S BFDBD BFsinB

(1 ). ---------5分 21、证明 由

S ABCBC BAsinB同理

S DECS

(1 ), AEF (1 )。 ---------- 10分 S ABCS ABC

所以，

S DEFS ABC S BFD S DEC S AEF

1 (1 ) (1 ) (1 ) S ABCS ABC

=(1 )(1 )(1 ) ,等号成立 1或 1或 1。 ----20分

因此S DEF S ABC，等号成立，当且仅当，D与C重合，或E与A重合，或F与B重合。 ----- 25分

22、证明 （1）考虑区域0 x n,0 y m,且该区域上的格点为nm个。又该区域由区域E：

0 x n,0 y ax3,以及区域F

：0 y m,0 x

组成。 3

在区域E上，直线段x k(k N,1 k n)上的格点为[ak]个， 所以区域E上的 格点数为

k 1m

n

[ak3]。 ----------------- 5分

同理区域F

上的格点数为

n

k 13

m

。 ----------------- 10分

由容斥原理，N ak mn。 -------------------------15分

k 1k 1（2）当a是一个正整数时，曲线y ax上的点（k,ak）(k N,1 k n)都是格点，所以（1）中的N=n。同时，m an。将以上数据代入（1）得

3

33

k 1

an3

。 ----------------- 25分 na243

an a k n n (n 1)n(3n 1)

4k 1

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