2010全国高中数学联赛浙江赛区预赛试卷及答案(3)

问：（1）这个数列第2010项的值是多少；

（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.

19. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。

x2

20. 已知椭圆2 y2 1(a 1)，Rt ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两

a

点B、C。若△ABC面积的最大值为

27

，求a的值。 8

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

21. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB上的点。记

BDCEAF

, , 。证明：BCAB

S DEF S ABC。

22. （1）设a 0，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线y ax过格点（n，m），记1 x n对应的曲线段上的格点数为N。证明：

3

N ak mn。

k 1k 1n

3

m

(2) 进而设a是一个正整数，证明：

a2

n (n 1)n(3n 1)。 4k 1（注[x]表示不超过x的最大整数）

an3

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