§1.2数列极限(15)

若将定理3的推论中条件 xn 0 改为 xn> 0, 则其结 论中的 a 0 也不会改善为 a >0. 1 例如, x n . n 4. 收敛数列与其子列的关系 在数列{xn}中任意选取无限多项并保持它们在原 数列{xn}中的先后次序, 这样得到的一个新数列称为原 数列{xn}的子数列(简称子列). 例如 xn1 , xn2 , , xnk ,

定理4: 若数列{ xn}收敛于a, 则它的任一子数列 也收敛, 且收敛于a. 推论:如果数列{xn}的一个子列不收敛, 或两个子 列均收敛但它们的极限不相等, 则数列{xn}发散.

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