§1.2数列极限(12)

在数轴上, 对应于有界数列{xn}的点都必须落在闭 区间[–M, M]上. 定理1: 收敛的数列必定是有界的. 证: 设 lim xn a, 由定义, 取 =1, 则 N, 使得n

n>N时, 恒有| xn–a | < 1, 则有 | xn |=| xn- a + a | | xn- a |+| a | < 1+| a | 记 M=max{| x1 |, · · · , | xN |, 1+| a | } 则对一切正整数n, 恒有| xn | M, 故数列{xn}有界. 注意: 有界性是数列收敛的必要条件. 从而有 推论:无界数列必定发散. 2.唯一性 定理2: 收敛数列的极限是唯一的.

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