安徽省示范高中2014届高三数学上学期第一次联考试题 文(扫描版)(9)

21．解：（Ⅰ）设圆心C(a，b)，则A，C中点坐标为

a 2b 1

, ， 1分 2 2

∵圆心C与点A（2,1）关于直线4x＋2y－5＝0对称，

b 1 a 2

4 2 5 0 a 0 22∴ ，解得 ，

b 0 b 1 2 1

a 2

∴圆心C(0，0)到直线x＋y＋2＝0

的距离r2

2

3分

，

4分 5分

∴求圆C的方程为x＋y＝2．

22

设Q(x，y)，则x＋y＝2，

2

2

∴PQ·MQ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x＋y＋x＋y－4＝x＋y－2， 6分

作直线l：x＋y＝0，向下平移此直线，当与圆C相切时x＋y取得最小值，这时切点坐标为（－1,－1）， 所以PQ·MQ的最小值为－4．

8分

（Ⅱ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，

PB：y－1＝－k(x－1)，由

y 1 k(x 1)

22

x y 2

，得(1＋k)x＋2k(1－k)x＋(1－k)－2＝0．

222

k2 2k 1k2 2k 1

因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA ，同理，xB ， 22

1 k1 k

则kAB

yB yA k xB 1 k xA 1 2k k xA xB 1 kOP．

xB xAxB xAxB xA

14分

所以，直线AB和OP一定平行．

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