2012中考数学专题：几何图形证明与计算题分析(12)

13．（2011成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB．⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H． （1）求证：AE＝CK； （2）如果AB＝a，AD＝

1

a（a为大于零的常数），求BK的长： 3

（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长． 解答：（1）证明：∵四边形据ABCD是矩形， ∴AD＝BC，

∵BK⊥AC，DH∥KB， ∴∠BKC＝∠AED＝90°， ∴△BKC≌△ADE， ∴AE＝CK；

（2）∵AB＝a，AD＝1

3

a＝BC，

∴AC AB2 BC2 a2

(12a3a) 3

∵BK⊥AC，∴△BKC∽△ABC，

∴

ACBC BK

AB， a∴31

aBK， 3

a∴BK＝a，

∴BK＝10

a．

12

（3）连接OF， ∵ABCD为矩形， ∴

EFED OF

BC

， ∴EF＝1ED＝122

×6＝3， ∵F是EG的中点， ∴GF＝EF＝3， ∵△AFD≌△HBF， ∴HF＝FE＝3＋6＝9， ∴GH＝6，

∵DH∥KB，ABCD为矩形，

∴AE2＝EF ED＝3×6＝18， ∴AE＝32， ∵△AED∽△HEC，

∴

AEEC EDHE 1

2

， ∴AE＝1

3

AC，

∴AC＝92 则AO＝

9

2

2．

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