数学建模_传染病模型 (1)(7)

值,当s0>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得

s0≤1/σ(即σ ≤1/s0),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的,通常可认为s0接近1)。

并且,即使s0>1/σ, σ减小时, s 增加(通过作图分析), im降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.

从另一方面看, s s 1/ 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被 s个健康者交换.所以当 s0 1/ 即 s0 1时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。 群体免疫和预防：

根据对SIR模型的分析,当s0 1/ 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低s0 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.

忽略病人比例的初始值i0有s0 1 r0,于是传染病不会蔓延的条件s0 1/ 可以表为

这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）就可以制止传染病的蔓延。

这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 σ=5，至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r0，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的σ更高，根除就更加困难。 模型验证:

上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了对SIR模型作了验证。

首先，由方程（2），（3）可以得到

dsd

si si sr dtdt

dr

的实际数据，Kermack等人用这组数据dt

r0 1

1

1

上式两边同时乘以dt可 ds dr ，两边积分得

s

r1s rs

d d e lns| rsrs0 s0s r0 0

s0s

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