利用积分特性容易求出方程(5)的解为：i (s0 i0) s
1
ln
s
（7） s0
在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向
图3
下面分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作s , i 和r ). 1. 不论初始条件s0,i0如何,病人将消失,即：t ,i 0
2. 最终未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到, 是方s0 i0 s 在(0,1/σ)内的根.在图形上 是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标 3.若s0>1/σ,则开始有
1
ln
s
0 s0
di 1d 1 1 o，i(t)先增加, 令i 1 =0，可得当s=1/σ时,i(t)ds sσ ds sσ
达到最大值：
1
im s0 i0 1 ln s0)
然后s<1/σ时，有
di 1 1 o ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s ,如图3中ds sσ
由P1(s0，i0)出发的轨线 4.若s0 1/σ,则恒有
di 1 1 0，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s ,如图3中由ds sσ
P2(s0,i0)出发的轨线
可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ
是一个阈
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