考研数学课件(8)

考研资料- 31 -

解：法1（直接求导法）方程组两边同时对求偏导数x（u,v均为x,y的二元函数）

?u?v??u?f?(u?x)?f?12??u?v??x?x?x，把和当成未知变量，解出得 ??x?x??v?g(?u?1)?g?y?2v?v12??x?x?x??uf1(2yvg2?1)?f2?g1?vg1(xf1?uf1?1)?u. ?,??x(xf1?1)(2yvg2?1)?f2?g1?x(xf1?1)(2yvg2?1)?f2?g1法2（看成关于变量x,y，u,v的方程组）

?F(x,y,u,v)?u?f(ux,v?y)令?，依次求偏导得 2G(x,y,u,v)?v?g(u?x,vy)?Fu?1?xf1,Fv??f2,Fx??uf1,Fy??f2，

Gu??g1,Gv?1?2yvg2,Gx?g1,Gy??v2g。由公式得 FxG?u??xFu?xGuFv?uf1?f2Gvg11?2yvg2?uf1(2yvg2?1)?f2?g1，同理也有 ???Fv1?xf1?f2(xf1?1)(2yvg2?1)?f2?g1Gv?g11?2yvg2g1(xf1?uf1?1)?v。 ??x(xf1?1)(2yvg2?1)?f2?g1法3（全微分法）将原方程组两边全微分（x,y，u,v都被视为变量）

?du?f1?(xdu?udx)?f2?(dv?dy)，整理得 ?2?dv?g1?(du?dx)?g2?(y2vdv?vdy)?(1?xf1)du?f2?dv?f1?udx?f2?dy，解出 ?2g?du?(2yvg?1)dv?g?dx?g?vdy?1212考研资料- 32 -

du??uf1(2yvg2?1)?f2?g1dx?...dy(xf1?1)(2yvg2?1)?f2?g1，

dv?g1(xf1?uf1?1)dx?...dy，于是

(xf1?1)(2yvg2?1)?f2?g1?uf1(2yvg2?1)?f2?g1g1(xfu1?f1)?u?v1?。 ?, ??x(xf1?1)(2yvg2?1)?f2?g1?x(x1f?1)(2yv?g?1)?f221g

（3）多元函数微分学的应用 1、空间曲线的切线和法平面 （1）设曲线?的参数方程为x??(t),y??(t),z??(t)，参数t?[?,?]，假定上

述三个函数在[?,?]上有不全为零的导数，则曲线?在t?t0对应的切点

M0(?(t0)?,t(0?),t0(处的切线方程为))x??(t0)y??(t0)z??(t0)，法平面方程为??????(t0)?(t0)?(t0)??(t0)(x??(t0))???(t0)(y??(t0))???(t0)(z??(t0))?0，其中??(??(t0),??(t0),??(t0))为

切线的方向向量。

（2）设曲线?的方程为y?y(x),z?(x)，则曲线?在x?x0对应的切点

M0(x0,y(xx处的切线方程为))0),z(0x?x0y?y(x0)z?z(x0)，法平面方程为 ??1y?(x0)z?(x0)(x?x0)?y?(x0)(y?y(x0))?z?(x0)(z?z(x0))?0。

?F(x,y,z)?0,（3）设曲线?的方程为? 那么曲线?在切点M0(x0,y0,z0)处的切线方程为

?G(x,y,z)?0,

x?x0FyFzGyGzM0?y?y0FzFxGzGxM0?z?z0FxFyGxGyM0，（法平面方程略）。

2、空间曲面的切平面和法线

考研资料- 33 -

（1）设曲面?方程为F(x,y,z)?0，且F(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)处有不全为零的连续偏导数，则曲面?在M0(x0,y0,z0)处切平面方程为

Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0，

x?x0y?y0z?z0， ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)法线方程为

其中n?(FF(0x,0y,0z)(x,,zM))0(x0,y0,z0)处的法向x(x0,y0,z0),yz,F00y为0量。

（2）设曲面?方程为z?f(x,y)（其中f(x,y)在(x0,y0)具有连续偏导数），则曲面?在M0(x0,y0,z0)处切平面方程为

fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?x0)?(z?fy(x0,y0))?0

x?x0y?x0z?f(xy,0??fx(x0y,0)fyxy(,0?)0)0。法向量为1法线方程为

n??(fx,fy?,。

例题13 在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中，与平面x?2y?z?4平行的切线

（A） 只有一条；（B）只有两条；（C）至少有三条；（D）不存在。 解：曲线在t?t0时的方向向量??(1,?2t0,3t02)，令?与平面的法向量

n?(1,2,1)垂直，即(1,?2t0,3t02)?(1,2,1)?0，得到3t02?4t0?1?0，解出两个

解t0?1或者t0?例题

1，故选（B） 314 设z?f(x,y)在点(0,0的某个邻域内有定义，且

fx(0,0)?3,fy(0,0)??1,则

考研资料- 34 -

（A）dz(0,0)?3dx?dy，

（B）曲面z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的一个法向量为(3,?1,1)，

?z?f(x,y)（C）曲线?在点(0,0,f(0,0))的一个切向量为(1,0,3),

y?0??z?f(x,y)（D）曲线?在点(0,0,f(0,0))的一个切向量为(3,0,1)。

y?0?解：由于题目只告诉z?f(x,y)在点(0,0)处两个偏导数存在，并未告诉是否可微，

)一个法向量为所以（A）是错误的。曲面z?f(x,y)在点(0,0f,(0,0的

?(fx(0,0)fy,?z?f(x,y)也就(0,?0),,或者为?(3,?1,?1)，所以（B）不对。曲线??y?0?z?f(x,0)dz是?在点(0,0,f(0,0))的一个切向量为(1,0,)?(1,0,fx(0,0))?(1,0,3)，

dx?y?0故选（C）。

例题15 （1）设F(x,y)具有连续偏导数，证明曲面F(cx?az,cy?bz)?0上任意点的切平面都与定向量平行（a,b,c为常数）。

y（2）设f(x)具有一阶连续导数，证明曲面z?xf()上任意点的切平面都过定点。

x证明：（1）令F?F(cx?az,cy?bz)，则Fx?cF1，Fy?cF2，Fz??aF1?bF，所以

曲面上任意点处的法向量为n?(cF1,cF2,?aF1?bF2)，由于

(cF1,cF2,?aF1?bF2)?(a,b,c)?0恒成立，故曲面上任意点处的切平面都与定向量

(a,b,c)平行。

注：本例也可以利用对曲面方程两边直接求偏导的方法求出法向量。

考研资料- 35 -

（2）在曲面上任取一点M0(x0,y0,z0)，则z0?x0f(yyyy zx?f()?f?(),zy?f?()xxxxy0)，因为 x0所以M0处的法向量

n?(zx,zy,?1)?(f(y0yyy)?0f?(0),f?(0),?1)，于是M0处的切平面为 x0x0x0x0(f(y0yyyy)?0f?(0))(x?x0)?f?(0)(y?y0)?(z?x0f(0))?0x0x0x0x0x0

把点(0,0,0)代入，上式恒成立，故曲面上任意点的切平面都过定点(0,0,0)。

3 多元函数极值

定义 若存在点M0(x0,y0)的某个邻域使得对于该邻域内一切点M(x,y)，都有f(x,y)?f(x0,y0)（或者f(x,y)?f(x0,y0)），则称(x0,y0)为函数z?f(x,y)的极大值（或者极小值）点，f(x0,y0)为函数z?f(x,y)的极大值（或者极小值）， 极大值（或者极小值）统称为极值。使得fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0同时成立的点

(x0,y0)叫做函数z?f(x,y)的驻点。

要求函数的极值，关键是找出极值点，而极值点是和函数的驻点以及不可导点有关。

定理 （必要条件） 设f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)取得极值，

则有 fx(x0,y0) ?fyx(0y,0?)。0定理表明 对于可导函数，极值点一定是驻点，反之不一定成立；另外不可导

点也可能是极值点。

定理（充分条件） 设z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域有二阶连续偏导数，且

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B，fyy(x0,y0)?C，则

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