考研数学课件(7)

考研资料- 26 -

例题7 设z?f(u,v,x),u??(x,y),v??(y),求z?f(?(x,y),?(y),x)的两个偏导数

?z?z和。 ?x?y解：借助复合关系图，根据复合函数求导法则，得

?z?z?f1?x?f3， ?f1?y?f2??。 （这里要区别偏导数和导数的表示）?x?yy2?2z例题8 设z?f(,x?3y),其中f(x,y)具有二阶连续偏导数，求。

x?x?y解： 这是求已经复合完毕的含抽象函数的二阶偏导数。令u?则

y,v?x2?3y，xyyz?f(,x2?3y)可以看成由z?f(u,v)，u?,v?x2?3y复合而成的复合函

xx数。

?z?z?u?z?vy?z?z?u?z?v1????2f1?2xf2，???f1?3f2。 ?x?u?x?v?xx?y?u?y?v?yx?f?y?1y?f?2z?y?(?2f1?2xf2)?(?2f1)?(2xf2)??2f1?21?2x2。

?yx?yxx?y?y?x?y?yx?f1?f1?u?f1?v?f?f?u?f2?v11???f11??f12?3，2?2??f21??f22?3， ?y?u?y?v?yx?y?u?y?v?yx由于

?2z1y11故??2f1?2(f11??f12?3)?2x(f21??f22?3) （注意到f12?f21） ?x?yxxxx??1y3yf?f?(2?)f12?6xf22。 213112xxx考研资料- 27 -

注 式中在求

?f1?f和2时要把f1,f2的地位看成z（即f）一样，都是以u,v为?y?y中间变量、以x,y为自变量的函数，不能写做f11,f22，f11表示z?f(u,v)对第

?2z一个变量u的二阶偏导数2（其它的类推）；由于题设f(x,y)具有二阶连续

?u偏导数，所以f12?f21。

例题9（01，数一，,6分） 设函数f(x,y)在点(1,1)处可微，f(1,1)?1,

?f?x?2,

(1,1)?f?y(1,1)?3,又?(x)?f(x,f(x,x))，求

d3?(x)dxx?1。

d解： 易知 ?(1)?f(1,f(1,1))?f(1,1)?1，?3(x)dxx?1?3?2(1)??(1)?3??(1)。

因为 ??(x)?f1(x,f(x,x))?f2(x,f(x,x)) ?f1(x,f(x,x)?)所以 ??(1)?f1(1,f ?f1(1,1?)f2因此

5 隐函数求导法则

（1）由一个方程所确定的隐函数求导法

df(x,x) dx2。 xf(x,f(x,xf?x(2x,)f(x,))1))((1,?1f))2f(1,1f(1,1?))2f(( 1,1)(1,1))?1,3(12?)3)?，1 (1,f1(1,f21)?2()1)(?d3?(x)x?1?5。1 dx定理 设函数F(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域有连续的偏导数，且

F(x0,y0)?0，Fy(x0,y0)?0，则方程F(x,y)?0在点(x0,y0)的某个邻域恒能唯

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一确定具有连续导数的函数y?y(x)，它满足y0?y(x0)，且

Fdy??x。 dxFy注 定理给出二元方程确定一元隐函数的条件，并给出隐函数求导公式，其实

这是上册书中的隐函数求导问题当然可以两边直接求导，此外还可以用一阶微分形式不变性来求导。

类似地 设函数F(x,y,z在)点(x0,y0,z0的某个邻域有连续的偏导数，且)F(x,y?)在点0(x0,y0,z0的某个邻F(x)，0Fz(x)，则方程0)0,y0,z0?0,y0,z0?(x,，它满足y)域恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数z?zz0?z(x)0,y0，

且

FyF?z?z??x,??。 ?xFz?yFz（2）由两个方程构成的方程组所确定的隐函数求导法

定理 设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点(x0,y0,u0,v0)的某个邻域对各个变量有连续的偏导数， 又F(x0,y0,u0,v0)?0，G(x0,y0,u0,v0)?0，且雅克比（Jacobi）行列式

?(F,G)J??(u,v)Fu?GuFvGv?0。

(x0,y0,u0,v0)(x0,y0,u0,v0)则两个四元方程构成的 方程组F(x,y,u,v)?0,G(x,y,u,v)?0在点

(x0,y0,u0,v0)的某个邻域恒能确定两个具有连续偏导数的函数

u??(x,y),v??(x,y)满足u0??(x0,y0),v0??(x0,y0)，且

Fx?uG??x?xFvGvFuGuFvGv,Fu?vG??u?xFxGxFuGuFvGv，

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?u???yFyGyFvGvFuGuFvGv,?v???yFuGuFyGyFuGuFvGv。

类似的 两个三元方程构成的 方程组F(x,y,z)?0,G(x,y,z)?0可以确定两个一元隐函数y?y(x),z?z(x)，且求导公式为

dy??dxFxGxFzGzFyGyFzGz,dz??dxFyGyFxGxFyGyFzGz。

例题10（05，数一，,4分）设有方程xy?zlny?exz?1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在该邻域上述方程

（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)；

（B）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)和y?y(z,x)；

（C）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)和x?x(y,z)；

（D）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(z,x)。

解： 令F(x,y,z)?xy?zlny?exz?1，则F对x,y,z均有连续偏导数，且

F(0,1,1)?0。由于

Fx(0,1,1)?(y?zexz)(0,1,1)z?2?0,Fy(0,1,1)?(x?)y(0,1,1)??1?0,而

Fz(0,1,1)?(?lny?xexz)(0,1,1)?0，根据隐函数存在定理，在那个邻域内方

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程可以确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(z,x)。

,t)而,t?t(x,y)是由方程F(x,y,t)?0所确定的函数， 例题11 设y?f(x其

中f,F都具有连续偏导数，证明

dyfxFt?ftFx。 ?dxftFy?Ft证明 法1（看成一个方程的情形方程组的情形）因为

y?f(x,,t(x,y))，两边对x,求导，得

dy?t?tdy?fx?ft(?)。 dx?x?ydx又t?t(x,y)是由方程F(x,y,t)?0所确定的函数，由隐函数求导法则，知

FyFxdyfF?fF?t?t??,??，将它们代入上式，整理得?xttx。

dxftFy?Ft?xFt?yFt法2（看成两个三元方程构成的方程组的情形） 因为

?f(x,t)?y?0方程组?确定两个一元函数y?y(x),t?t(x)，两边对x求导，

?F(x,y,t)?0dtdy?f?f??0t?dyfxFt?ftFx?xdxdx得 ?， 解出 。 ?dydtdxfF?Ftyt?F?F?Ft?0xy?dxdx??y?f(x,t)法3（采用微分形式不变性）因为?把x,y,t都看成独立变量，

F(x,y,t)?0??dy?fxdx?fdttfF?ftFxdx，两边全微分，有 ?，解方程组，得到dy?xt

Fdx?Fdy?Fdt?0ftFy?Ftyt?xdyfxFt?ftFx?。 dxftFy?Ft从而

?u?f(ux,v?y)?u?vg,f例题12 设?，其中，具有一阶连续偏导数，求。 2?x?x?v?g(u?x,vy)

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