考研数学课件(6)

考研资料- 21 -

2、全微分定义 设函数f(x,y在)P)0(x0,y0的某个邻域有定义，若全增量

?z?f(0x??,x0y??)y?(0f,x0可)y表示为?z?A?x?B?y?o(?)

(??0)，其中A,B为仅与x0,y0有关而与?x,?y无关的常数，

???x2??y2为(x0??x,y0??y)与(x0,y0)两点之间的距离，则称函数

f(x,y)在P0(x0,y0)处可微，

并把A?x?B?y称为函数f(x,y)在P0(x0,y0)处的全微分，记为dz当f(x,y)在P0(x0,y0)处的可微时，有计算公式

(x0,y0)。

dz(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?fx(x0,y0)dx?fy(x0,y0)dy；

当f(x,y)在任一点可微时，有 dz??z?zdx?dy （称为叠加原理）。 ?x?y（对三元及三元以上的多元函数的全微分有同样的定义和计算公式）。 全微分的几何意义 函数f(x,y)在P0(x0,y0)处的全微分dz(x0,y0)表示曲面

z?f(x,y)上点M0(x0,y0,f(0x,沿y)切)平面的竖坐标的增量（而

?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)）表示曲面z?f(x,y)上点M0(x0,y0,f(x0,y0))沿曲面的竖坐标的增量）。

（3）二元函数连续性，可导性，可微性之间的关系（见表）

注 讨论函数在某一点的连续性、可导性和可微性时，必须借助用定义，由表

可以看出，讨论的次序是先讨论连续性或可导性。若两者都成立，再来讨

论可微性，主要是看?z?(fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y)?o(?)或者看

f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?(fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y)(?x)?(?y)22??(?x,?y)?(0,0)lim?0，若为

零，则f(x,y)在(x0,y0)处可微，否则不可微。若两者至少有一个不成立，

考研资料- 22 -

则f(x,y)在(x0,y0)处必不可微。 3、高阶偏导数

定义 设函数f(x,y)在区域D内有偏导数

?z?z=fx(x,y),?fy(x,y)（仍然是?x?y关于x,y的二元函数），若这两个x,y的二元函数的偏导数也存在，则称它们都是f(x,y)的二阶偏导数。共有4个：

???2z???z?2z???z?()（或fxx(x,y)=(fx(x,y))?x），， ?()（或fxy(x,y)=(fx(x,y))?y）2?x?x?x?x?y?y?x???2z???z?2z???z?，2?()（或fyy(x,y)=(fy(x,y))?y）。 ?()（或fyx(x,y)=(fy(x,y))）

?y?x?x?y?y?y?y其中第一和第四个分别称为对x和对y的纯偏导数，第二和第三分别称为混合偏导数

类似地可以定义3阶，。。。，n阶偏导数。 求法：逐次求偏导。

?2z?2z?2z?2z)定理 若在点(x,y处均连续，则（也称与求导次序无,??x?y?y?x?x?y?y?x关）.

多元函数为常数的条件

设f(x,y)在区域D上任意点都满足

?f?f(,)C???0，则fxy?x?y；若只有

?f?0,则 ?xf(x,y)?C1(y)；若只有的一元函数。

?f?0，则f(x,y)?C2(x)，其中C1(y)、C2(x)均为任意?y考研资料- 23 -

例题3（11年，数一，4分）设函数F(x,y)??xy0sint?2Fdt,则221?t?xx?0y?2?()。

?Fsin(xy)?2Fycos(xy)(1+x2y2)?2xy2sin(xy)?y解： 法1 ， ， =y?x1+x2y2?x2(1+x2y2)2?2F于是

?x2?2F解： 法2

?x2x?0y?2?4。

x?0y?2d2?2F(x,2)dxx?0d22xsint?2(?dt)dx01?t2x?0

sin2x ?2()?1?4x2x?02(1?4x2)cos2x?8xsin2x?2(1?4x2)2x?0?4。

例题4（05，数一，4分）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??数?具有二阶导数，?具有一阶导数，则必有

x?yx?y?(t)dt，其中函

?2u?2u?2u?2u（A）2??2， （B）2?2，

?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u（C）， （D）。 ???x?y?y2?x?y?x2解：

?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)， ?x?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)。 2?x?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)， ?y?2u。 ????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)。故应选（B）2?y考研资料- 24 -

例题 5 求方程zxy(x,y)?x?y满足条件z(x,0)?x,z(0,y)?y2的解z?z(x,y)。

?解：由zxy(x,y)?x?y两边对y不定积分，得 zx(x,y)再两边对x不定积分，得 z?x?y122y??1(。x)

121xy?xy2??(x)??(y)。 22把z(x,0)?x,2z(0,y)?y2代入，有 x??(x)??(0),y??(0??)y，( )又z(0,0)?0，所以?(0)??(0)?0，故 z?121xy?xy2?x?y2。 224 多元复合函数求导法则

由于多元复合函数的复合方式是多种多样的，从而它的求导公式也是五花八门

的，但是我们坚持这样的步骤就不会出错：（1）画复合关系图，审查自变量、因变量和中间变量（它可能是多个、多层的）；（2）根据“分线相加、连线相乘”的原则写出导数公式。下面列举几个常用的多元函数求导法则。 （1） 多元函数与一元函数的复合

x),v?v(x),w?w(x)设z?f(u,v,w)在点(u,v,w)，而u?u(在x处都可导，则它

们的可以复合为一元函数z?f(u(x),v(x),w(x))，且在x处可导，并有

dz?zdu?zdv?zdw???dx?udx?vdx?wdx?zdz叫做全导数，把

?xdx数，其它以此类推）。

（复合关系图见 ） f1u??f2v??f3w?。

f1，f1表示f(u,v,w)对第一个变量求偏导

（这里也把

（2） 多元函数与多元函数的复合

设z?f(u,v)在(u,v)处可微，而u??(x,y),v??(x,y)在(x,y)处都具有对x,y的偏导数，则它们的可以复合为二元函数z?f(?(x,y),?(x,y))，且在(x,y)处都具有对x,y的偏导数，并有

?z?z?u?z?v???x?u?x?v?xf1?1?f2?1，

?z?z?u??zv??f1?2?f?2。2 ?y?u?y?v?y考研资料- 25 -

（复合关系图见 ）

（3） 多个多层的不规则的函数复合

设z?f(x,u),u??(x,v)都在任意点可微，而v??(x)在任意x处可导，则它们的可以复合为一元函数z?f(x,?(x,?(x))),，且在任意x处可导，并有全导数

dz?f1?f2(?1??2??) dx（复合关系图见 ）

定理 （一阶全微分形式不变性 ） 在z?f(u,v)中，无论u,v是自变量还是中间变量（比如u??(x,y),v??(x,y)）全微分公式dz?例题6 若对于任意正实数t，都有 f(tx,t,y?t)zn?z?zdu?dv总是成立的。?u?v，则称t(f,x（,yn?zz?）

f(x,y,z)为n次齐次函数。设f(x,y,z)为可微函数，证明：f(x,y,z)为n次齐

次函数的充要条件是

xfx(x,y,z)?yfy(x,y,z)?zfz(x,y,z)?nf(x,y,z)

证明：（必要性） 设f(x,y,z)为n次齐次函数，则 f(tx,ty,tz)?tnf(x,y,z) 两边对t求导，得 xfxt,y?)tz1(t,令t?1，得 xf,y,?z)x(xn?1y(f,tx,?ty)3tz(z,f?,tx)tytz2 t(n,,f)txtytzyyf(,x,y?)zzz(f,x?,y)z xyzn(。f,(充分性) 设上式成立，考察F(t)?F?(t)?f(tx,ty,tz)（把x,y,z视为常数），求导得 tnxf1(tx,ty,tz)?yf2(tx,ty,tz)?zf3(tx,ty,tz)n?n?1f(tx,ty,tz)

tnt?txf1(tx,ty,tz)?tyf2(tx,ty,tz)?tzf3(tx,ty,tz)?nf(tx,ty,tz)?0， n?1t所以F(t)?C，F(t)?F(1)?f(x,y,z)，即f(tx,ty,tz)?tnf(x,y,z)。

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