考研数学课件(3)

考研资料- 11 -

角）满足 sin??n?SnS?Am?Bn?Cpm?n?p222A?B?C22。

2讨论：（1）l???nS?ABC??； mnp（2）l??n?S?Am?Bn?Cp=0；

（3）l???n?S且(x0,y0,z0)???Am?Bn?Cp=0且Ax0?By0?Cz0?D?0

或者l???A(mt?x0）。 +B(nt?y0)?C(pt?z0)?D?0（?t?R）(三)直线、平面中的常见问题 1、点到平面、点到直线的距离

例题5 求点M(2,1,3)到平面x?2y?z?2的距离。 解：由点到平面的距离公式，得

d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 （点(x0,y0,z0)为平面Ax?By?Cz?D?0外一点）

?1?2?2?1?3?21?4?1?5。 6x?1yz?2??的距离。 12?1例题6求点M(2,1,3)到直线

解 法1 由点到直线的距离公式，得

M0M?S? d?? （直线

Sx?x0y?y0z?z0??过M0(x0,y0,z0)且S=(m,n,p)） mnp

考研资料- 12 -

?(3,1,1)?(1,2,?1)(1,2,?1)?53。 3法2 先求出过点M(2,1,3)、以n?(1,2,?1)的平面方程为

(x?2)?2(y?1)?(z?3)?0， 即 x?2y?z?1?0。

?x?2y?z?1?0?再求出该平面和已知直线的交点，为此联立 ?2x?y?2?0，解得

?x?z?1?0?144N(?,,)。

33314453最后得到d?MM?(2?)?(1?)?(3?)?。

3333二、点关于平面、直线对称点坐标 例题7 求点M(2,1,3)关于直线

x?1yz?2??的对称点坐标。 12?1解：同上题一样，求出过M点做出的与已知直线垂直的平面x?2y?z?1?0，

144再求出该平面和直线的交点N(?,,)，最后设所求的点为M?(x,y,z)，用中点

333公式

12?x41?y43?z??， ?， ?， 323232451451解出x??,y?,z??，故所求的点为M?(?,,?)。

333333三、平面束

?Ax?B1y?C1z?D1?0设有直线l:?1，则过l得平面束方程为

?A2x?B2y?C2z?D2?0A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0（其中??R）

其特点：随?不同，它表示不同位置的平面。但无论?为何值，这些平面都经过

l（但不包含平面A2x?B2y?C2z?D2?0）。

例题8 设平面?过两个平面?1:x?y?1?0,和?2:x?2y?2z?0的交线，且与平

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面?3:2x?y?z?0垂直，求平面?的方程。

解 法1 （点法式）设平面?的法向量为n?(A,B,C)，因为?,?1,?2交于一条直线，所以它们的法向量n,n1,n2共面，令n??n1??n2，又因为???3，所以

n?n3?0，即2(???)?(??2?)?2??0，取??2,??1，得n?(3,4,2)。再在交线

?x?y?1?0上任取一点M0(0,?1,1)（也在平面?上），由点法式得 ??x?2y?2z?0?:3x?4(y?1)?2(z?1)?0 或 ?:3x?4y?2z?2?0。

ijk法2（混合积）平面?1,?2的交线的方向向量S?n1?n2?11 0?(2,?2,1)。

122取M0(0,?1,1)，则平面?的任意点M(x,y,z)满足S,n3是平面?上不共线的向量，的方程为(MM,S,n3)?0，即

x22y?1z?1?2?11?1?0，解得 3x?4y?2z?2?。0

??x?y?1?0法3 （平面束）过?得平面束为

x?2y?2z?0?x?y?1??(x?2y?2z)?0，或者 (1??x)?(1??2y)??z2??1。

令(1??,1?2?,2?）?n3，解出??3x?4y?2z?2?0。

1,代入上式整理得到平面?的方程为 2四、公垂线的方程和公垂线段的长

?x?2t?1x?3yz?1???例题9 问直线l1:与l2:?y?3相交吗？若相交，求出交点；243?z?t?2?若异面，求出公垂线段的长和公垂线的方程。

解：两条直线的方向向量为S1?(2,4,3),S2?(2,0,1)（显然不平行），分别在两条

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直线上的点构成的向量为M1M2?(?4,3,3)，因为22线异面。

下面来求公垂线段的长

??43343??28?0，故两条直01法1 过l1作平面?l2，则平面?的法向量可取为n?S1?S2?(4,4,?8),又由于过M1(3,0,?1)，所以平面?的方程为4(x?3)?4(y?0)?8(z?1)?0,即

x?y?2z?5?0。点M2(?1,3,2)到平面?的距离即为所求的公垂线段的长，

故d??1?3?2?2?57?6。 61?1?4?法2 即为M1M2?(?4,3,3)在公垂线的方向向量S?S1?S2?(4,4,?8),上投影的绝对值。 d?prjM1M2S??4?3?2?37M1M2?S???6。

S61?1?4?再求公垂线的方程

过M1(3,0,?1)，以S1?S=?4(11,?7,2)即(11,?7,2)为法向量作平面

11(x?3)?7(y?0)?2(z?1)?0，或11x?7y?2z?31?0；

过M2(?1,3,2)，以S2?S??4(1,?5,?2)即(1,?5,?2)为法向量作平面

(x?1)?5(y?3)?2(z?2)?0，或 x?5y?2z?20?。0

?11x?7y?2z?31?0所以公垂线的方程为?。

x?5y?2z?20?0?五 空间曲线绕坐标轴旋转所得曲面方程

?F(x,y,z)?0要求?:?绕z轴旋转所得曲面方程，只需要从方程组中解出

?G(x,y,z)?0?x?f(z)，所得曲面方程为：x2?y2?f2(z)?g2(z)。 ??y?g(z)例题10 (13，数一，6分)设L过A(1,0,0),B(0,1,1)，将L绕z轴旋转一周所得曲

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面?，求?的方程并问曲面的名称。 解：由两点式得L的方程为

?x?1?zx?1yz??，化为?，则它绕z轴旋转一周?111?y?z221(z?)2x?y2?1。所得曲面?的方程为x2?y2?(1?z)2?z2 或曲面可看成将?11241(z?)22y2?1绕绕z轴旋转一周所得旋转双曲面。 yoz面上的双曲线?1124习题

?1、设?,?都是单位向量，夹角为，求向量2???,2??3?的夹角。

3(PA,PB,PC)???2、证明P到A,B,C三点所确定的平面的距离为d?AB?AC??。

?x?y?2z?3?03、求过直线?，又切于球面x2?y2?z2?1的平面方程。

?2x?y?z?04、将直线曲面。

5、设入射线方程为程。

x2y2z26、在第一卦限内做椭球面2?2+2=1的切平面，使得切平面与三个坐标面围

abcx?1y?2z==，入射面方程为x?2y?z?2，求反射线的方213xy?bz??绕z轴旋转一周，求所得曲面?的方程，并讨论这是什么a01成的立体体积最小，求切点的坐标。

?x?y?b?07、平面?与曲面z?x2?y2相切于点(1,?2,5)，而直线l:?在平面

?x?ay?z?3?0?内，求a,b的值。

?x?y?z?1?08、设柱面的母线平行于x?y?z，准线为?，求柱面的方程。

x?y?z?0?9、证明：(a?b)?c?(a?c)b?(b?c)a。

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