考研数学课件

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第八章 向量代数和空间解析几何第八章

内容概要与重点难点提示

本章由三个部分组成：（1）向量代数 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具体向量的线性运算法则 数量积、向量积和混合积的运算；（1）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。

重点 向量运算（线性运算、点乘、叉乘） 画出空间曲面曲线的图形 求平面

和直线的方程

本章 无特别难的难点

考试内容要点讲解 一、 向量

1、定义 既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为a或者AB，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小 也叫长度,、模或者范数，记为a或者AB；方向 向量箭头的指向，用方向角?,?,?来刻画。常用的向量有零向量0（模为零，方向任意）、单位向量e（模为1）、向径OM(其中M(x,y,z)为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关）。一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。向量是不能比较大小的。

抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为

?a?(ax,ay,az)?axi?ayj+azk，ax叫做a的横坐标或者a在x轴上的投影，axi叫做a在x轴上的分量。a?ax2?ay2+az2；cos??ayax?ay+az222axax?ay+az222，

cos??，cos??azax?ay+az222，同a方向的单位向量

a0?a?(cos?,cos?,cos?)。 a2、向量的运算 对于抽象向量

（1）加减法（平行四边形法则） 做AB?a,???AD?b，以AB,AD为邻边做

?平行四边形，则对角线构成的向量AC?a+b,DB?a?b。

（2）数乘 规定?a（?为数量）是向量：模?a??a；方向是当??0时?a考研资料- 2 -

与a同向，当??0时?a与a反向，当??0时?a?0。

bas?aprja?bprjb（3）数量积（点积，内积） a?b?abco? （结果为数

量），式中?为向量a与b的夹角（??[0,?]）。

（4）向量积（叉积，外积） a?b的结果是向量：模a?b?absin?，?为向量a与b的夹角（??[0,?]）；方向a?b与a与b都垂直，且a、b、a?b符合右手系。

（5）混合积 三个向量a、b、c的运算(a,b,c)(a?b)?c（结果为数量，在几何上该数的绝对值为以a、b、c为棱的平行六面体体积）。 对于具体向量 设a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz)，则 （1）加减法 a?b?(ab,a,a)b x?xy?byz?；z（2）数乘 ?a?(?a) x,?ay,?az；（3）数量积 a?b?a b?aabxxyby?z；

i（4）向量积 a?b?axjaybyaxayykaz； bzazzbx)（5）混合积 (a,b,c?xbbb（这里设c?(cx,cy,cz)），。

cxcycz3、常用的结论

(b?c)bc?bb（1）投影定理 prja； prja?prja?prja??prja(??R)。

（2）非零向量a?b?a?b?0?axbx?ayby?azbz?0。

axayaz非零向量ab(或a与b共线)??唯一的??R使得b??a???

bxbybzijaybykaz?0。 bz?a?b?0 ?axbx非零向量a、b、c共面??不全为零的数?1,?2,?3使得?1a??2b??3c?0

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axaybycyazbz?0。 cz?(a,b,c)?0?bxcx（3）非零向量a、b、c构成三角形，则a?b?c?0；反之不一定成立。

i （4）以a,b为邻边的平行四边形面积S?a?b?axjaybykaz。 bzbx4、运算性质

（1）加减与数乘 a?b?b?a；(a?b)?c?a?(b?c)；a?b?a?(?1)b；

(???)a??a??a；?(a?b)??a??b。

（2）数量积 a?b?b?；a a?(b?c)?a?b?a?c；

(?a)?b?a?(?b)??(a?b)；a?a?a。

（3）向量积 a?b??b?；a a?(b?c)?a?b?a?c；

2 (?a)?b?a?(?b)??(a?；b)a?a?0。

注 对点积和叉积都没有消去律，如由a?b?a?c，且a?0不能推出b?c。

（4）混合积 (a,b,c?)(b,c,?a)c(a,，b(?a,b,c)??(a,b,c)；

(a,b,c?)?(b,a；,c(a,a,b)?(a,b,a)?(a,b,b)?0； (a1?a2,b,c)?(1a,b,c?)2(a,。b ,c)例题1 求同时垂直于向量a?(1,2,?1)与y轴的单位向量。

解：法1 设所求向量为b?(x,y,z)，则

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?a?b?0?(1,2,?1)?(x,y,z)?0?????j?b?0??(0,1,0)?(x,y,z)?0???222b?1x?y?z?1????1(1,0,1)。 2?x?2y?z?01?y?0?，y?0。 x?z???2?x2?y2?z2?1?所以b??ijk法2 取 c?a?j?(1,2,?1)?(0,1,0)?12?1?(1,0,1)，

010故 b??c1??(1,0,1)。 c2cc例题2 设a?(1,1,0),b?(2,0,2)，c与a,b共面，且prja?prjb?3，求c。

解：法1 令c?(x,y,z)，由c与a,b共面，得

xyz(a,b,c)?110?0，解得 x?y?z?0 （1）

202?x?y?3c???prj?3?a?x?y?32?2又?c ???????prjb?3?2(x?z)?3?x?z?32??22(2)， (3)由（1）（2）（3）得到x?22，y?z?2，所以 c?2(2,1,。1 )cc法2 因为c与a,b共面，且prja?prjb?3，知c在a,b的角平分线上，

所以c??a0?b0?ab(1,1,0)(2,0,2)(2,1,1)????也在a,b的角平分线上， ab2222考研资料- 5 -

设c??c???(2,1,1)2c，由prja?3，即?(2,1,1)?(1,1,0)22?3，得到??2，

所以 c?2(2,1,。1 )例题3 （1）设(???)???2，则(???)?(???)]?(???)?()。

（2）设（a?3b）?（7a?5b），（a?4b）?（7a?2b），则(a,?b)?()。 解：（1）因为 (???)?(???)????????????，

所以原式?(???????????)?(???)?(???)??+(???）??

?2(???)??=4。

?7a2?16a?b?15b2=0?（a?3b）?(7a?5b)=0??（2）由已知，?。 ??22??7a?30a?b?8b?0?(a?4b)?(7a?2b)?0?两式相减，得 2a?b?b，代入方程组第一式，有 a?b，把它代入

22a?b?b，即2abcos(a,b)?b2?2，求出cos(a,?b)?1?，所以(a,?b)?。 23二、 空间曲面、曲线的方程

)，它们满足：0?M(x,y,z?)?定义 设有曲面?和三元方程F(x,y,z?，则x,y,z满足方程F(x,y,z?)0?M?(x?,y?,z??)?，则x?,y?,z?不满足方程；

?为三元方程F(x,y,z?F(x,y,z?)，那么称曲面0)所表示的曲面，或说三0?所对应的方程。 )为曲面0元方程F(x,y,z?1、常见的曲面及其对应的方程

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